corps ordonnés

[JPBoudine]

Je m'intéresse aux corps non ordonnables. En principe on entend par là un corps dont on puisse démontrer qu'il est impossible de définir une relation d'ordre total compatible avec les opérations (la structure) du corps.
La cas bien connu est le corps des complexes.
Je ne connais pas de démonstration claire et expéditive de ce fait. En gros, je vois ce qui se passe. Soit A la partie des complexes dont je dirais qu'elle rassemble les éléments strictement positifs, C\A est l'ensemble des éléments négatifs, y compris 0.
Soit x un complexe strictement positif, non réel. Si a est un réel positif (on suppose, je pense, que la relation d'ordre candidate sur C doit prolonger celle que nous connaissons sur R), ax est encore positif. Donc A contient une demi-droite, et en particulier un complexe de module 1. Je pense que A est un ensemble de secteurs illimités et C\A est constitué des secteurs symétriques par 0. Maintenant avec ce complexe, on peut faire tourner cette demi-droite et rencontrer C\A, ce qui fera une contradiction. Je pense qu'en rédigeant plus sérieusement, ça doit le faire...

Maintenant j'ai une autre question, qui concerne le corps que l'on peut définir sur N avec les opérations de Conway, c'est à dire l'addition en base deux sans retenue, et le produit de Conway. Je pense qu'on doit pouvoir prouver sans difficulté qu'aucune relation d'ordre total compatible avec la structure de corps n'est envisageable, ne serait-ce que parce que pour tout $n$, $n \oplus n = 0$. Ca doit être vrai de tout corps de caractéristique 2 ?
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[Médiat]

Bonjour (La politesse n'est pas optionnelle sur ce site)

Pour le cas des Nimbers (IN avec les opérations de Conway), c'est évident puisque si est une relation d'ordre, on devrait avoir , c'est à dire ce qui est incompatible avec un ordre total.

Je vous laisse adapter au cas général

[joel_5632]

bonjour

Soit (C, +, *) un corps, soit une relation d'ordre totale sur C
On dit que est compatible avec les opérations + et * de C ssi:




Pour montrer qu'il n'existe pas de telle relation si C est le corps des complexes, on considère le nombre i, on le suppose soit positif, soit négatif, et dans les 2 cas on arrive assez rapidement à une contradiction.