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Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

  1. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Localisation
    Courcelles - Belgique
    Âge
    54
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    26 485

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Juste pour info, dans certaines fac( dont celle où je suis) la théorie des groupes n est vue qu en L3. Bien sure on a des cours d algèbre avant, essentiellement linéaire, mais guère plus !
    La définition doit quand même venir beaucoup plus tôt. J'ai même vu ça avant l'université ! Forcément, quand on voir les espaces de nombres classiques et les opérations arithmétique : beaucoup forment un groupe.
    De plus, les groupes sont à la base de beaucoup des structures mathématiques (pas toutes mais beaucoup quand même).
    Ou alors c'est qu'en quarante ans les cours de math se sont sacrément dégradés !!!!

    -----

    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     


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  2. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
    Localisation
    Haute Saintonge
    Âge
    54
    Messages
    655

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Mais si je comprends bien, les axiomes de commutativité et de non-commutativité ne s'appliquent pas à la théorie des groupes au gré de celui qui souhaiterait utiliser l'un plutôt que l'autre, c'est la nature de l'objet mathématique étudié (par exemple le groupe diédral) qui impose l'axiome de commutativité ou l'axiome de non-commutativité.
    Ce n'est pas le cas avec ZFC et ZF(non)C qui sont deux théories aussi valables l'une que l'autre.
    Il me semble qu'il y a là une différence essentielle.
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  3. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 675

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Mais pourquoi Médiat me renvoie-t-il à la théorie des groupes à propos des axiomes de commutativité et de non-commutativité ?
    La théorie des nombres ne fait-elle pas l'affaire ?
    Mais parce que la théorie des groupes est infiniment plus simple que l'arithmétique (cf. Gödel !)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  4. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 675

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Mais si je comprends bien, les axiomes de commutativité et de non-commutativité ne s'appliquent pas à la théorie des groupes au gré de celui qui souhaiterait utiliser l'un plutôt que l'autre
    Bien sûr que si

    Ce n'est pas le cas avec ZFC et ZF(non)C qui sont deux théories aussi valables l'une que l'autre.
    Donc aucune différence avec les groupes : on peut choisir d'étudier les groupes, ou les groupes commutatifs, ou es groupes non commutatifs, de la même façon que l'on peut étudier ZF, ZFC, ou ZF + nonAC
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  5. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 313

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Mais pourquoi Médiat me renvoie-t-il à la théorie des groupes à propos des axiomes de commutativité et de non-commutativité ?
    Parce que c'est un excellent exemple pour comprendre ce dont il était question (axiome pour lequel on peut aussi bien choisir qu'il est vrai - fait partie de la théorie- ou qu'il est faux - son contraire fait partie de la théorie- ou encore que ça dépend des cas).
    La théorie des nombres ne fait-elle pas l'affaire ?
    Mais pourquoi parles-tu de cela ? quel rapport avec le sujet ? D'ailleurs, de quels axiomes parles-tu (il y a plusieurs définitions des nombres entiers) ?
     


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  6. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
    Localisation
    Haute Saintonge
    Âge
    54
    Messages
    655

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Mais pourquoi parles-tu de cela ? quel rapport avec le sujet ? D'ailleurs, de quels axiomes parles-tu (il y a plusieurs définitions des nombres entiers) ?
    Bin, depuis le temps, tu sais bien que chaque fois qu'il y a une grosse connerie à dire je suis volontaire !
    Ceci dit, puisqu'il existe de tels axiomes "inconsistants" (le terme est sûrement mal choisi, proposes-en un plus correct) aussi bien dans la théorie des ensembles (l'axiome de choix) que dans la théorie des groupes (l'axiome de commutativité), pourquoi n'en existerait-il pas aussi dans la théorie des nombres, ou en géométrie ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  7. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 313

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    En géométrie c'est connu depuis 2 siècles !!
    Quant à ce que tu nommes "théorie des nombres", je ne sais pas de quoi tu parles. En général, cette expression désigne la forme moderne de l'arithmétique, et s'appuie généralement sur l'ensemble des mathématiques "courantes".
    Cependant je te donne un exemple pour chacun :
    * en géométrie, on sait depuis le dix-neuvième siècle que l'axiome des parallèles est indépendant des autres axiomes d'incidence. Voir les géométries non euclidiennes et les généralisations qui en ont été faites.
    * En axiomatique des entiers, celle de Peano, l'axiome de récurrence est indépendant des autres.

    Bien entendu, pour comprendre ces questions, il faut apprendre pas mal de mathématiques.
     

  8. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Localisation
    Courcelles - Belgique
    Âge
    54
    Messages
    26 485

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Salut,

    Quant à trouver un axiome "inconsistant" (je préfère dire incompatible, et ça donne une théorie inconsistante) en théorie des nombres c'est franchement trivial.
    Par exemple, il y a un axiome de Peano qui dit "Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn". Si j'ajoute l'axiome "Il existe un entier naturel noté Big qui n'a pas de successeur". Alors c'est évidemment et clairement incompatible.
    Ca n'a rien de sorcier (et c'est franchement sans intérêt ).

    Et attention, il y a un problème de terminologie. il ne faut pas qualifier "inconsistant" l'axiome du choix dans ZF. Et je ne suis pas d'accord pour dire que le terme est mal choisi. C'est carrément l'opposé.
    Inconsistant ça veut dire que cela conduit à des contradictions. Et justement ajouter l'axiome du choix ou sa négation ne conduit PAS à des contradictions.
    C'est comme si je disais "les chats sont des oiseaux ((le terme est sûrement mal choisi, proposes-en un plus correct)".
    Faut pas pousser bobonne dans les orties.

    Le terme correct ici est "indépendant".
    Dernière modification par Deedee81 ; 27/06/2017 à 08h49.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     


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