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Clarifications sur le résultat zeta(-1) = -1/12

  1. Jack75014

    Date d'inscription
    mai 2016
    Messages
    7

    Clarifications sur le résultat zeta(-1) = -1/12

    Bonjour à tous,

    Après avoir observé les manipulations d'expression pour obtenir :



    Je me pose deux questions :

    Tout d'abord, quelles sont les diverses manières d'expliquer la différence de résultat entre cette somme et le résultat suivant souvent admis comme trivial ?


    Ensuite, quelles intuitions ou phénomènes physiques permettent d'illustrer ce résultat étonnant, au-delà de la simple manipulation algébrique, laquelle me convient tout à fait ? En effet, j'ai lu que cette série était observable en physique mais aucun exemple n'était donné et mon bagage en la matière est pour ainsi dire trop faible pour que je puisse en trouver un seul.
    Il me semble bien que la différence repose principalement sur la notion d'infinité (peut-être ai-je tort et si tel est le cas, pourriez-vous s'il vous plaît me corriger), toutefois j'aurais voulu savoir si l'un d'entre vous pouvait me donner un exemple où ce résultat est observable ou encore me faire part d'une intuition qui permet de réellement saisir le résultat.

    Je vous remercie par avance de votre aide.

    Bien à vous,

    -----

     


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  2. albanxiii

    Date d'inscription
    novembre 2010
    Localisation
    92
    Âge
    42
    Messages
    9 228

    Re : Clarifications sur le résultat zeta(-1) = -1/12

    Bonjour,

    Il s'agit d'un prolongement analytique.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...4.82.5C.7B1.7D
    Not only is it not right, it's not even wrong!
     

  3. Jack75014

    Date d'inscription
    mai 2016
    Messages
    7

    Re : Clarifications sur le résultat zeta(-1) = -1/12

    Merci pour votre réponse. Toutefois je ne maîtrise pas encore les outils présents dans cet article.
    J'arrive au résultat seulement via la manipulation de ces sommes :

    S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...
    et
    S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 ...

    Je sais pas si cela est possible mais serait-il envisageable d'avoir une réponse vulgarisée ou du moins réduite aux outils BAC+2 (Prépa) ? Je sais bien qu'à mon niveau, il sera difficile d'avoir une compréhension fine et je me contenterais tout à fait d'une explication approximative, pour l'instant du moins.

    Merci
     

  4. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 675
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  5. Jack75014

    Date d'inscription
    mai 2016
    Messages
    7

    Re : Clarifications sur le résultat zeta(-1) = -1/12

    OK Merci beaucoup pour vos réponses. Je me permets de rediriger ceux qui se posent ou se poseront la même question vers cette vidéo en anglais qui introduit assez bien la notion de prolongement analytique : Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation

    Bonne soirée,

    Hâte de creuser plus en profondeur la question !
     


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  6. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 313

    Re : Clarifications sur le résultat zeta(-1) = -1/12

    En fait,

    le fond du problème est que Zeta n'est définie comme somme d'une série que pour certains nombres (complexes), pas pour -1. C'est tout !
     

  7. albanxiii

    Date d'inscription
    novembre 2010
    Localisation
    92
    Âge
    42
    Messages
    9 228

    Re : Clarifications sur le résultat zeta(-1) = -1/12

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    le fond du problème est que Zeta n'est définie comme somme d'une série que pour certains nombres (complexes), pas pour -1. C'est tout !
    Je complète avec ma vision de physicien... sur les domaine où Zêta est définie on arrive à montrer qu'elle peut avoir plusieurs expressions (soit la somme des 1/n^z qui sert de définition, soit d'autres formes), et que certaines formes sont définies sur un domaine plus grand que la forme utilisée comme définition de départ. La deuxième est un prolongement analytique de la première (c'est brutal, après il faut préciser tout plein de choses, mais c'est juste pour avoir l'idée).

    Un exemple à portée de bac+2 :

    La somme est définie dans le plan complexe sur le disque ouvert de rayon 1. Sur ce domaine, elle est égale à . Or cette dernière expression est définie pour tout z différent de 1. On, dit qu'elle prolonge analytiquement la somme à tout le plan complexe privé du point 1.
    Not only is it not right, it's not even wrong!
     


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