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1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

  1. andretou

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    août 2009
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par Matmat Voir le message
    tu n'as le droit d'écrire x + A que si x et A appartiennent au même ensemble ( or, tel que tu définis A , ils n'appartiennent pas au même ensemble ) .
    Pourquoi dis-tu que A et x n'appartiennent pas au même ensemble ?
    En effet :
    - si x est un nombre, alors A est aussi un nombre ;
    - si x est un vecteur, alors A est aussi un vecteur ;
    - si x est un angle, alors A est aussi un angle ;
    - etc...

    -----

    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     


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  2. gg0

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Non, A n'est pas un nombre. Pour n'importe quel nombre réel x, il existe un entier n tel que la somme 1+1+1+...+1 de n termes soit strictement supérieure à x. Comme tu continues à augmenter ta somme, elle ne peut pas valoir x.
    Et on ne voit pas quel miracle ferait apparaître une partie imaginaire, qui ferait de x un complexe.

    Donc soit tu prouves que A est un nombre (pour x=1, déjà, ce serait pas mal), soit tu parles sans savoir ...
     

  3. erik

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    - si x est un nombre, alors A est aussi un nombre ;
    - si x est un vecteur, alors A est aussi un vecteur ;
    - si x est un angle, alors A est aussi un angle ;
    - etc...
    ça n'a rien d'évident, si x est un nombre alors x+x est un nombre, mais la limite à l'infini de x+x+x+.... n'a pas de raison d'être un nombre (d'ailleurs pour x différent de 0 ce n'est pas un nombre)
     

  4. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  5. b@z66

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    La sommation de ramunajan devrait intéresser andretou puisqu'elle permet d'associer des nombres finis à des séries divergentes mais il faut bien garder à l'esprit que cela reste gadget et n'est intéressant que pour le fait d'utiliser des méthodes en dehors de leur cadre habituel(qui est le seul autorisé logiquement).
    La curiosité est un très beau défaut.
     


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  6. b@z66

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Sinon, la principale source de confusion vient du "+..." qui n'est pas très rigoureux. Pour ce genre de démonstration, il faudrait d'abord faire le raisonnement pour un nombre de termes fini dans la série puis faire tendre ce nombre de terme vers l'infini. De cette manière, on se rend bien compte que le raisonnement présenté par andretou est impossible à faire.
    La curiosité est un très beau défaut.
     

  7. andretou

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    août 2009
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    Vous ne pouvez pas poser A=x+A. De la façon, dont vous définissez A, ce nombre n'existe pas, il n'est pas fini et le fait d'essayer de le comparer à un autre nombre x+A, par l'intermédiaire d'une égalité, n'a donc pas de sens. On ne peut comparer par définition que des choses qui sont finies et le fait de poser A=x+A supposerait implicitement que A l'est(alors qu'il ne l'est pas). Ce type de raisonnement est juste mais que pour des séries convergentes.
    Autrement dit, vous me dites que je n'ai pas le droit de poser A=x+A parce que A diverge, mais que si A convergeait alors là j'aurais le droit.
    Cela rejoint la réponse de Deedee avec laquelle je suis d'accord, mais existe-t-il un théorème qui justifie cela ?
    Pourquoi est-il permis d'écrire A=x+A quand A converge, et pas quand A diverge ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  8. andretou

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par erik Voir le message
    ça n'a rien d'évident, si x est un nombre alors x+x est un nombre, mais la limite à l'infini de x+x+x+.... n'a pas de raison d'être un nombre (d'ailleurs pour x différent de 0 ce n'est pas un nombre)
    Comment ça ? Comment une somme infinie de nombres peut-elle être autre chose qu'un nombre ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  9. b@z66

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Autrement dit, vous me dites que je n'ai pas le droit de poser A=x+A parce que A diverge, mais que si A convergeait alors là j'aurais le droit.
    Cela rejoint la réponse de Deedee avec laquelle je suis d'accord, mais existe-t-il un théorème qui justifie cela ?
    Pourquoi est-il permis d'écrire A=x+A quand A converge, et pas quand A diverge ?
    Ce qui est à la base du problème est le fait de comparer "un" infini à "d'autres" infinis alors que l'infini n'est pas mesurable(et donc comparable) par définition. C'est juste ça qui est en cause.
    Dernière modification par b@z66 ; 08/08/2016 à 18h19.
    La curiosité est un très beau défaut.
     

  10. b@z66

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Je corrige, l'infini(+ou -) est comparable avec des nombres finis mais pas avec d'autres versions de lui-même.
    La curiosité est un très beau défaut.
     

  11. albanxiii

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Je le pense aussi. Mais y a-t-il un théorème qui le démontre ?
    Bien que strictement hors-sujet, le théorème de réarrangement de Rieman est particulièrement impressionnant (en tout cas, pour moi). Il faut toucher du doigt les ennuis qu'on peut avoir en manipulant l'infini n'importe comment.
    Not only is it not right, it's not even wrong!
     

  12. erik

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Comment ça ? Comment une somme infinie de nombres peut-elle être autre chose qu'un nombre ?
    Ben oui, c'est possible, par exemple 1+1+1+1+.... n'est pas un nombre entier (sinon dit moi ce qu'il vaut, quel est l'entier qui est son successeur, est il pair ou impair ....)
     

  13. b@z66

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Preuve par l'absurde, poser A=A+1(ou x) revient à comparer (+l'infini) à (+l'infini)+1 (puisque A=+l'infini) mais comme on considère déjà (+l'infini) comme le plus grand nombre possible, le fait d'écrire (+l'infini)+1 signifierait implicitement que (+l'infini) n'aurait pas été finalement tout à fait "infini"(le plus grand nombre), ce qui contredit sa définition initiale.
    La curiosité est un très beau défaut.
     

  14. andretou

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Bien que strictement hors-sujet, le théorème de réarrangement de Rieman est particulièrement impressionnant (en tout cas, pour moi). Il faut toucher du doigt les ennuis qu'on peut avoir en manipulant l'infini n'importe comment.
    En effet, c'est édifiant !
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  15. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par erik Voir le message
    si x est un nombre alors x+x est un nombre, mais la limite à l'infini de x+x+x+.... n'a pas de raison d'être un nombre
    Attends, je ne te suis pas. La somme infinie 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... est bien un nombre. A ma connaissance il n'existe aucun exemple de somme infinie de nombres qui ne soit pas un nombre.
    As-tu un exemple contraire ? Ce serait énorme...
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  16. erik

    Date d'inscription
    août 2004
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Attends, je ne te suis pas.
    message #42
     

  17. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Attends, je ne te suis pas. La somme infinie 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... est bien un nombre. A ma connaissance il n'existe aucun exemple de somme infinie de nombres qui ne soit pas un nombre.
    As-tu un exemple contraire ? Ce serait énorme...
    1+1+1+1+... n'est pas un nombre.
     

  18. gg0

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    avril 2012
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Andretou :
    La somme infinie 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... est bien un nombre
    Oui, une fois réinterprété comme une série.
    Mais justement, 1+1+1+..., réinterprété comme une série n'est pas un nombre.
    Ce serait énorme...
    Non ! C'est même très connu depuis plusieurs siècles
    Ce qui semble un peu énorme, c'est ton aplomb à affirmer des choses fausses alors que tu n'y connais rien. Depuis le début tu n'a jamais dit ce que représente 1+1+1+..., tu te contentes de croire à tes idées non fondées.
    Allez , finis d'écrire ton 1+1+1+1+1+1+1+... sans les ... qu'on sache de quoi tu parles ... Tu n'y arrives pas ? Alors pourquoi crois-tu que ça a un sens ???
     

  19. pm42

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Attends, je ne te suis pas. La somme infinie 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... est bien un nombre. A ma connaissance il n'existe aucun exemple de somme infinie de nombres qui ne soit pas un nombre.
    As-tu un exemple contraire ? Ce serait énorme...
    Voir tout ce qui a été dit. La plupart des sommes infinies de nombres ne donne pas un nombre, ne converge pas forcément, etc. Et ce n'est pas énorme, c'est des maths niveau lycée ou un peu après suivant les programmes.

    EDIT : doublé par gg0
     

  20. iharmed

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Bonjour

    Ce n’est pas un problème de logique ou de calcule.
    C’est un défaut d’écriture.

    Vous mettez un 1 suivi d’un plus (+) puis d’une parenthèse ouverte à droite suivie d’un 1 puis d’un plus (+) puis d’un autre 1 et ainsi de suite.
    Il y a la parenthèse ouverte à gauche qu’il faudra poser après le dernier 1.

    Quand c’est un nombre fini il suffit d’un peut de temps pour écrire les 1 et les + pour fermer la parenthèse

    Mais pour l’infinie, même si quelqu’un écrit toute sa vie puis son fils et son petit petit fils pendant 10000 ans, ils n’arriveront pas à fermer la parenthèse.

    La faille est donc la.
    L’utilisation des parenthèses est une création pour séparer le séparable.

    C’est une explication par langage courant, en logique , une infinité d’objets n’est nullement affectée par un nombre fini d’objet.
    Dernière modification par iharmed ; 08/08/2016 à 23h37.
     

  21. Deedee81

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    La faille est donc la.
    L’utilisation des parenthèses est une création pour séparer le séparable.
    Je ne suis pas d'accord car même si on évite d'utiliser les parenthèses on tombe sur une contradiction. Et pour être "rigoureux" (sic) on pourrait utiliser le signe sommation.

    Les bonnes explications ont été données plus haut (séries divergentes, j'ai bien aimé le théorème de réarrangement de Riemann, merci albanxiiii, somme d'une infinité de 1 ne correspondant pas à un nombre naturel tels qu'ils sont définis, par exemple avec Peano, règles de l'arithmétique ne s'appliquant pas de la même manière à un tel objet,...)
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  22. Médiat

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Je ne suis pas d'accord car même si on évite d'utiliser les parenthèses on tombe sur une contradiction.
    Moi si .

    L'addition (cf. Peano) est définie pour deux nombres (entiers ici, mais c'est le cas général) et lorsque l'on écrit 1 + 1 + 1, c'est un abus d'écriture que l'on se permet à cause (ou grâce) de l'associativité de l'addition, mais en tout état de cause, la bonne écriture serait 1 + (1 + 1) (ou (1 + 1) + 1, puisque justement c'est pareil), et on voit bien que pour une somme infinie, on ne peut pas mettre ces parenthèses (c'est une façon de visualiser ce que je répète inlassablement sur toutes les discussions sur ce genre de "somme").

    Et, j'insiste, la bonne explication n'est pas sur les séries divergentes, mais sur la définition de l'addition. Il est vrai que les séries convergentes autorisent un abus d'écriture, ni plus ni moins grave que celui dû à l'associativité.
    Dernière modification par Médiat ; 09/08/2016 à 07h03.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  23. Deedee81

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Moi si .
    J'aurais dû être plus précis : effectivement, c'est vrai. Mais on peut arriver à une contradiction sans utiliser les parenthèses. Par conséquent l'explication n'est pas suffisante (mais celle disant qu'il faut utiliser correctement les définitions, là je suis d'accord).
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  24. Amanuensis

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    règles de l'arithmétique ne s'appliquant pas de la même manière à un tel objet,...)
    Pas tout relu, mais je me demande si on n'a pas oublié d'indiquer à andretou la règle qu'il a utilisée de manière discutable. C'est la simplification, virer A des deux côtés, qu'on peut ramener à une soustraction avec la règle A-A = 0. Or cette soustraction n'est pas applicable à un infini ; ou encore, A n'est pas suffisamment bien défini pour que la soustraction le soit, ou encore supposer que A respecte cette règle amène à une contradiction avec "l'autre" soustraction qui a été "déduite" de la forme, comme quoi A-A = 1. Deux définitions implicites de la soustraction, incompatibles entre elles.
    Dernière modification par Amanuensis ; 09/08/2016 à 09h59.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
     

  25. Médiat

    Date d'inscription
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Quelle règle pourrait bien s'appliquer ou ne pas s'appliquer à un objet qui n'est pas défini ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  26. Deedee81

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Quelle règle pourrait bien s'appliquer ou ne pas s'appliquer à un objet qui n'est pas défini ?
    Une règle non définie, évidemment
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  27. minushabens

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Je ne comprends pas . Mathématiquement, rien n'interdit de poser A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... , non ?
    on peut dire que rien n'est interdit en maths. S'il y a une discipline où l'imagination n'est entravée par rien c'est bien les mathématiques. Mais il faut que tu sois conscient qu'en posant A = 1+1+.... tu ne fais qu'introduire une notation pour "A est la suite (1,1,...)". Et une notation qui n'est pas très bonne, puisqu'elle suggère que l'ordre de termes n'est pas important (car elle utilise le symbole de l'addition et que l'addition est commutative). La notation dont j'ai parlé : f(x)=1+x+x^2+... signifie aussi "f est la suite (1,1,...)" mais là les termes sont identifiés : le n-ième terme de la suite est le coefficient de x^n.
     

  28. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,
    Moi si .

    L'addition (cf. Peano) est définie pour deux nombres (entiers ici, mais c'est le cas général) et lorsque l'on écrit 1 + 1 + 1, c'est un abus d'écriture que l'on se permet à cause (ou grâce) de l'associativité de l'addition, mais en tout état de cause, la bonne écriture serait 1 + (1 + 1) (ou (1 + 1) + 1, puisque justement c'est pareil), et on voit bien que pour une somme infinie, on ne peut pas mettre ces parenthèses (c'est une façon de visualiser ce que je répète inlassablement sur toutes les discussions sur ce genre de "somme").

    Et, j'insiste, la bonne explication n'est pas sur les séries divergentes, mais sur la définition de l'addition. Il est vrai que les séries convergentes autorisent un abus d'écriture, ni plus ni moins grave que celui dû à l'associativité.
    Je ne comprends pas pourquoi selon toi une addition n'est valide que si elle s'applique à seulement 2 termes. Tu admets pourtant que dans le cas des suites convergentes l'addition d'une infinité de termes est autorisée. Pour quelle raison le même règle ne pourrait-elle pas s'appliquer aux suites divergentes ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  29. gg0

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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Pour quelle raison le même règle ne pourrait-elle pas s'appliquer aux suites divergentes ?
    Pour quelle raison pourrait elle s'appliquer ?
    Si tu veux étendre une règle d'un domaine où elle s'applique à un autre domaine, c'est à toi de justifier que c'est possible. Et tu sais bien que c'est souvent impossible (ça donne des résultats faux). ta règle d'école primaire "multiplier ça fait augmenter" définie sur les entiers plus grands que 1, est impossible à étendre aux décimaux et aux nombres relatifs.

    Pour l'instant, tu n'as fait que vouloir réaliser tes désirs, ce qui n'a rien à voir avec les maths. Toi, tu n'en fais pas !!
     

  30. pm42

    Date d'inscription
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    Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Pour quelle raison le même règle ne pourrait-elle pas s'appliquer aux suites divergentes ?
    Toutes ces raisons ont déjà été données plusieurs fois dans les réponses précédentes.

    Plus haut, tu as aussi expliqué que toute somme infini de nombres est un nombre, il t'a été expliqué que cela était faux et tu reviens à l'assaut.
    Cherches tu vraiment à comprendre les réponses aux questions que tu poses ?
     


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