1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

[andretou]

Bonjour tout le monde
Si on pose A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Alors A = 1 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...)
Donc A = 1 + A
Donc 0 = 1 !!!

Apparemment un raisonnement logique mène à un résultat absurde.
Pouvez-vous SVP m'indiquer où est la faille logique ?
Merci pour vos réponses
-----

[Dynamix]

Salut

Pouvez-vous SVP m'indiquer où est la faille logique ?

Si la suite est finie , ton résultat est faux
Si la suite est infinie , ton résultat est équivalent à :
∞ = ∞+1

[goz]

Je pense que le problème vient du fait que A = A + 1 n'est vrai qu'au voisinage de l'infini


l'infini plus un est égal a l'infini donc bien:

et


Ce qui n'est vrai que en plus l'infini, pas pour une somme bornée par un entier



me semble etre une forme indeterminée (l'infini moins l'infini)

[minushabens]

Si l'on veut faire des calculs formels sur des suites, il faut utiliser les fonctions génératrices. La suite infinie (1,1,1,...) est ainsi représentée par la fonction génératrice f(x) = 1+x+x^2+x^3+... et on remarque qu'on peut écrire (formellement) f(x) = 1 + x + x^2 +... = 1 + x (1 + x + x^2 +...) = 1 + x f(x), d'où on déduit f(x) = 1/(1-x). On peut pousser assez loin ces calculs formels (formels signifie qu'on ne se préoccupe pas de la convergence des séries qui interviennent).

[A voir en vidéo sur Futura]

[andretou]

Si l'on veut faire des calculs formels sur des suites, il faut utiliser les fonctions génératrices. La suite infinie (1,1,1,...) est ainsi représentée par la fonction génératrice f(x) = 1+x+x^2+x^3+... et on remarque qu'on peut écrire (formellement) f(x) = 1 + x + x^2 +... = 1 + x (1 + x + x^2 +...) = 1 + x f(x), d'où on déduit f(x) = 1/(1-x). On peut pousser assez loin ces calculs formels (formels signifie qu'on ne se préoccupe pas de la convergence des séries qui interviennent).

Tu aboutis donc à un résultat aussi absurde que le mien : f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = 1/0

[pm42]

Non il aboutit à un résultat où sa fonction tend vers l'infini quand x tend vers 1 ce qui est cohérent.

[andretou]

Mais alors où est l'erreur dans mon raisonnement qui aboutit à 0=1 ?

[Deedee81]

Salut,

Mais alors où est l'erreur dans mon raisonnement qui aboutit à 0=1 ?

Le regroupement des termes dans une série infinie non convergente est une erreur.

Ici, c'est comme ci-tu disais :
infini = infini + 1
donc
0 = 1

Tu as juste remplacé "infini" par une somme infinie de 1 et toute série divergente pourrait convenir pour ce raisonnement erroné.

[andretou]

Le regroupement des termes dans une série infinie non convergente est une erreur.

Je le pense aussi. Mais y a-t-il un théorème qui le démontre ?

[Médiat]

Bonjour,

Si on pose A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Alors A = 1 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...)
Donc A = 1 + A
Donc 0 = 1 !!!

Apparemment un raisonnement logique mène à un résultat absurde.

Le problème est que vous utilisez une somme d'une infinité de termes, ce qui n'a pas de définition ou alors donnez-là (la somme est une opération qui a 2 éléments en fait correspondre un troisième).

[Amanuensis]

Mais y a-t-il un théorème qui le démontre ?

Quand la série comporte des termes négatifs et positifs (précisément, qui n'est pas toute positive ou toute négative à partir d'un certain rang), oui il y a une démonstration.

Sinon, il n'y a pas de problèmes particuliers, même si cela diverge vers un infini (ce qui sera le cas sauf si nul à partir d'un certain rang).

Le message #1 est juste l'application de règles arithmétiques à des "objets" qui ne sont pas des entiers.

Autrement dit, c'est juste une démo par l'absurde, "si on suppose que le résultat est un entier, alors on peut appliquer les règles arithmétiques et on arrive à la contradiction A=1+A, donc le résultat n'est pas un entier". Le raisonnement est correct, ses conséquences mal perçues.

[andretou]

Le problème est que vous utilisez une somme d'une infinité de termes, ce qui n'a pas de définition ou alors donnez-là (la somme est une opération qui a 2 éléments en fait correspondre un troisième).

Je ne comprends pas . Mathématiquement, rien n'interdit de poser A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... , non ?

[erik]

Mathématiquement, rien n'interdit de poser A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... , non ?

En faisant ça tu présupposes que A appartient à l'ensemble des entiers naturels, le raisonnement que tu fais dans ton premier message montre que l'on aboutit à une contradiction, donc A n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels.

Et effectivement n' appartient pas à IN

[Edit] doublon avec msg #11 de Amanuensis [/Edit]

[Amanuensis]

En faisant ça tu présupposes que A appartient à l'ensemble des entiers naturels, le raisonnement que tu fais dans ton premier message montre que l'on aboutit à une contradiction, donc A n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels.

Oui, n'est-ce pas? (Cf. message #11)

[andretou]

En faisant ça tu présupposes que A appartient à l'ensemble des entiers naturels, le raisonnement que tu fais dans ton premier message montre que l'on aboutit à une contradiction, donc A n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels.

Et effectivement n' appartient pas à IN

[Edit] doublon avec msg #11 de Amanuensis [/Edit]

Dans ce cas, posons : A = x + x + x + x + x +... , x pouvant être n'importe quel objet mathématique différent de 0. Ca, j'ai bien le droit de l'écrire, non ?

Alors : A = x + (x + x + x + x + x + x...)
Donc : A = x + A
Donc : 0 = x

[Amanuensis]

Ca, j'ai bien le droit de l'écrire, non ?

"droit", hmm... à un certain sens.

Mais faut supposer à quel "ensemble" cela appartient, car les opérations "autorisées" ou non ne sont pas les mêmes.

Alors : A = x + (x + x + x + x + x + x...)
Donc : A = x + A
Donc : 0 = x

Manque donc encore la supposition que l'écriture correspond à un entier (pour "autoriser" les opérations), et la conclusion en forme de raisonnement par l'absurde. Milieu de démo correcte, mais dans l'état sans queue ni tête (pour le plaisir du jeu de mot), ce qui ne permet pas d'y voir une démo complète.

[erik]

x pouvant être n'importe quel objet mathématique différent de 0

Alors là ça complique, comment est défini " + " quand il s'applique sur "n'importe quel objet mathématique" (le signe "+" n'a pas obligatoirement le même sens suivant que l'on additionne des fonctions, des matrices, des nombres, des similitudes du plan, des espaces vectoriels ...).
C'est assez difficile de travailler dans l'ensemble constitué de "n'importe quel objet mathématique".

[Edit] Promis bientôt j’arrête de faire des doublons avec Amanuensis [/Edit]

[andretou]

Mais faut supposer à quel "ensemble" cela appartient, car les opérations "autorisées" ou non ne sont pas les mêmes.

Alors là ça complique, comment est défini " + " quand il s'applique sur "n'importe quel objet mathématique" (le signe "+" n'a pas obligatoirement le même sens suivant que l'on additionne des fonctions, des matrices, des nombres, des similitudes du plan, des espaces vectoriels ...).
C'est assez difficile de travailler dans l'ensemble constitué de "n'importe quel objet mathématique".

D'accord, alors posons x comme étant n'importe quel objet mathématique différent de 0 et pouvant être ajouté à lui-même...
Maintenant ai-je enfin le droit d'écrire A = x + x + x + x + x +... ???
Si oui, la faille se trouve alors dans une des étapes suivantes.

[Amanuensis]

Maintenant ai-je enfin le droit d'écrire A = x + x + x + x + x +... ???

Vous pouvez "prendre cette liberté", mais pas celle d'y appliquer des raisonnements arithmétiques sans justifier que ce soit autorisé.

[andretou]

Vous pouvez "prendre cette liberté", mais pas celle d'y appliquer des raisonnements arithmétiques sans justifier que ce soit autorisé.

Ok. Donc a priori je peux écrire A = x + x + x + x + x +... (x étant un objet mathématique différent de 0 et pouvant s'ajouter à lui-même).
A partir de là, ai-je le droit d'écrire : A = x + (x + x + x + x + x...) ?
Puis A = x + A ?
Puis 0 = x ?
Si non, pourquoi ? Quel est l'argument mathématique qui s'y oppose ?

[erik]

C'est la même chose que tout à l'heure,

Tu présupposes que A est "objet mathématique différent de 0 et pouvant s'ajouter à lui-même (c'est à dire sur lequel on peut utiliser les règles habituelles d'addition)" (ce qui te permets de passer de la ligne A=A+x à la ligne x=0)

Tu obtient une contradiction.

donc A n'est pas "objet mathématique différent de 0 et pouvant s'ajouter à lui-même" et rien ne justifie que tu passe de la ligne A=A+x à la ligne x=0.

Tu as juste montré qu'il existe un objet A tel que A=x+A et que les règles habituelles de l'addition ne s'applique pas à cet objet.

[Dynamix]

Combien de termes comporte ta suite ?
Attention : la réponse doit être un nombre entier .

[Médiat]

Je ne comprends pas . Mathématiquement, rien n'interdit de poser A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... , non ?

Si, tout l'interdit, car l'addition est une fonction binaire, ce n'est pas une question de supposer que le résultat est entier ou non, c'est juste "non défini !" que vous essayiez avec des 1 ou des x, le raisonnement est le même.

Ce que l'on peut faire, dans certains ensembles et sous certaines conditions, c'est calculer, pour une suite Un, la limite de la somme Sn des n premiers termes, du coup chaque somme est une somme finie (donc l'itération finie de la somme de 2 termes), et si cette suite Sn converge, on peut "trouver des théorèmes".

Calculer la limite d'une suite de sommes finies, c'est faisable, calculer une suite infinie, c'est infaisable (ou alors il faut changer quelques noms (par exemple "somme de Ramanujan" qui n'est pas la somme)

[Matmat]

Ok. Donc a priori je peux écrire A = x + x + x + x + x +... (x étant un objet mathématique différent de 0 et pouvant s'ajouter à lui-même).
A partir de là, ai-je le droit d'écrire : A = x + (x + x + x + x + x...) ?
Puis A = x + A ?
Puis 0 = x ?
Si non, pourquoi ? Quel est l'argument mathématique qui s'y oppose ?

si ton + est une loi interne tu n'as le droit d'écrire x + A que si x et A appartiennent au même ensemble ( or, tel que tu définis A , ils n'appartiennent pas au même ensemble ) .
inversement, si ton + n'est pas une loi interne tu n'as pas la possibilité de déduire 0 = x depuis A = x + A .

[andretou]

C'est la même chose que tout à l'heure,

Tu présupposes que A est "objet mathématique différent de 0 et pouvant s'ajouter à lui-même (c'est à dire sur lequel on peut utiliser les règles habituelles d'addition)" (ce qui te permets de passer de la ligne A=A+x à la ligne x=0)

Tu obtient une contradiction.

donc A n'est pas "objet mathématique différent de 0 et pouvant s'ajouter à lui-même" et rien ne justifie que tu passe de la ligne A=A+x à la ligne x=0.

Tu as juste montré qu'il existe un objet A tel que A=x+A et que les règles habituelles de l'addition ne s'applique pas à cet objet.

Je ne présuppose rien du tout, j'ai définis "x" comme étant un objet mathématique quelconque différent de 0 et pouvant s'ajouter à lui-même afin de pouvoir satisfaire à tes conditions...
A partir de là je ne fais que respecter les règles mathématiques élémentaires, lesquelles aboutissent à 0=x...
Je suis bien d'accord qu'il y a un truc qui cloche, mais où exactement ?

[andretou]

Calculer la limite d'une suite de sommes finies, c'est faisable, calculer une suite infinie, c'est infaisable

Comment ça infaisable ? Qu'en est-il des fonctions Zeta d'Euler ???

[erik]

Je suis bien d'accord qu'il y a un truc qui cloche, mais où exactement ?

Voir le message de Matmat (#24)

[gg0]

Andretou,

tu appliques à une expression que tu ne définis pas des calculs pour les nombres entiers, ou réels, ou complexes. L'erreur est d'utiliser des règles dans une situation où elle ne s'applique pas.
C'est tout aussi mathématique que le classique "cheval/oiseau=pi", ou "vert/kroumir=cassoulet". Sauf que tout le monde accepte ces deux jeux de lettre comme n'étant pas des maths, et que tu crois que tu fais des maths alors que tu joues avec des symboles.

Si tu veux vraiment faire des maths, dis ce qu'est A. Sans tricher (ce n'est pas un nombre réel ou complexe).

Cordialement.

[b@z66]

Dans ce cas, posons : A = x + x + x + x + x +... , x pouvant être n'importe quel objet mathématique différent de 0. Ca, j'ai bien le droit de l'écrire, non ?

Alors : A = x + (x + x + x + x + x + x...)
Donc : A = x + A
Donc : 0 = x

Vous ne pouvez pas poser A=x+A. De la façon, dont vous définissez A, ce nombre n'existe pas, il n'est pas fini et le fait d'essayer de le comparer à un autre nombre x+A, par l'intermédiaire d'une égalité, n'a donc pas de sens. On ne peut comparer par définition que des choses qui sont finies et le fait de poser A=x+A supposerait implicitement que A l'est(alors qu'il ne l'est pas). Ce type de raisonnement est juste mais que pour des séries convergentes.

[Médiat]

Comment ça infaisable ? Qu'en est-il des fonctions Zeta d'Euler ???

D'abord, j'ai fait une faute de frappe, je voulais écrire "calculer une somme infinie, c'est infaisable".

Justement la fonction Zeta est définie soit par une limite, soit par un prolongement analytique, pas comme une somme.

Mais si vous avez un doute donnez-nous la définition de la somme d'une infinité de nombres entiers (et pour mériter le nom de somme, cette opération devra avoir suffisamment de points communs avec la somme usuelle ; le nom de "Somme de Ramanujan" (et non "somme") évite ce piège) sinon ce serait prendre le risque de laisser penser que le cochon d'inde est un genre de porc venant des Indes, ce qui est deux fois faux (*).

(*)Bon, d'accord, il vient des Indes de l'Ouest