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Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

  1. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
    Localisation
    Haute Saintonge
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    Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Bonjour à tous
    Sur Wikipedia, on lit :
    En 1938, Kurt Gödel démontre que ZF+AC est une théorie cohérente si ZF l'est.
    En 1963, Paul Cohen démontre que ZF+(non)AC est aussi une théorie cohérente si ZF l'est. Ce qui achève la démonstration de l’indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis des autres axiomes de ZF.


    Que signifie l'expression (non)AC ?
    Désigne-t-elle l'exclusion de l'axiome du choix ?
    Ou désigne-t-elle l'axiome contraire de AC ?

    Merci pour vos réponses

    -----

    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 675

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Bonjour à tous
    Sur Wikipedia, on lit :
    En 1938, Kurt Gödel démontre que ZF+AC est une théorie cohérente si ZF l'est.
    En 1963, Paul Cohen démontre que ZF+(non)AC est aussi une théorie cohérente si ZF l'est. Ce qui achève la démonstration de l’indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis des autres axiomes de ZF.


    Que signifie l'expression (non)AC ?
    Désigne-t-elle l'exclusion de l'axiome du choix ?
    Ou désigne-t-elle l'axiome contraire de AC ?

    Merci pour vos réponses
    Bonjour,

    C'est l'axiome qui dit que l'axiome du choix est faux.

    Cela n'aurait pas d'intérêt de démontrer (après Gödel 1938) que ZF + exclusion de l'axiome est cohérente si ZF l'est puisque ZF + exclusion de l'axiome = ZF.

    J'ai compris "exclusion de" comme signifiant "on ne dit rien de".
    Dernière modification par Médiat ; 22/06/2017 à 11h00.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  3. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
    Localisation
    Haute Saintonge
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    ZF+(non)AC est donc la théorie qui englobe ZF et l'axiome opposé à AC ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  4. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    ZF+(non)AC est donc la théorie qui englobe ZF et la négation de AC
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  5. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Salut,

    EDIT zut, croisement

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    ZF+(non)AC est donc la théorie qui englobe ZF et l'axiome opposé à AC ?
    Médiat vien de le dire. Je ne sais pas ce que tu veux dire pas "axiome opposé" mais :
    ZF + (non)AC = ZF + la négation de l'axiome du choix
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     


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  6. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Juste pour éviter un contresens sur le mot "négation", le terme "(non)AC" ne désigne pas la négation de l'existence de AC, mais désigne un axiome qui exprime le contraire de AC ? C'est correct ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  7. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Si AC est la formule , nonAC est la formule
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  8. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    J'imagine qu'on exprime la négation de l'axiome du choix ainsi: il existe une famille X d'ensembles telle que pour toute application f de X dans l'union des éléments de X il existe un Y élément de X tel que f(Y) n'est pas élément de Y.
     

  9. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 675

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    L'axiome du choix peut s'exprimer : donc on obtient la négation en appliquant les règles habituelles ; ce qui permet de voir que vous avez oublié quelque chose
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  10. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Par exemple, si l'axiome THM dit que "Tous les hommes sont mortels", alors qu'est-ce que (non)THM ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  11. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Par exemple, si l'axiome THM dit que "Tous les hommes sont mortels", alors qu'est-ce que (non)THM ?
    Il existe un homme qui n'est pas mortel
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  12. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Admettre que AC et (non)AC sont l'un et l'autre acceptables, cela ne revient-il pas en quelque sorte à considérer que THM et (non)THM seraient également valables ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  13. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Admettre que AC et (non)AC sont l'un et l'autre acceptables, cela ne revient-il pas en quelque sorte à considérer que THM et (non)THM seraient également valables ?
    Tout dépend des autres axiomes.
    Si j'ai un axiome qui dit "l'age maximum d'un homme est 127 ans", alors, non, THM et (non)THM ne sont pas également valables.
    De même AC et (non)AC sont tous les deux acceptables avec les axiomes de ZF, pas nécessairement avec d'autres.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  14. andretou

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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Mais peut-on inventer de tels axiomes de sorte que THM et non(THM) soient vérifiés au sein d'une même théorie, comme c'est le cas pour AC et (non)AC au sein de ZF ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     

  15. andretou

    Date d'inscription
    août 2009
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    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Autrement dit, pour tout axiome XXX peut-on inventer un système d'axiomes dans lequel XXX et (non)XXX soient valables ?
    Ou bien l'axiome du choix est-il le seul ayant cette propriété ?
    Dernière modification par andretou ; 22/06/2017 à 13h09.
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?
     


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