Bonjour à tous
Sur Wikipedia, on lit :
En 1938, Kurt Gödel démontre que ZF+AC est une théorie cohérente si ZF l'est.
En 1963, Paul Cohen démontre que ZF+(non)AC est aussi une théorie cohérente si ZF l'est. Ce qui achève la démonstration de l’indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis des autres axiomes de ZF.
Que signifie l'expression (non)AC ?
Désigne-t-elle l'exclusion de l'axiome du choix ?
Ou désigne-t-elle l'axiome contraire de AC ?
Merci pour vos réponses
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Bonjour,Envoyé par andretou
C'est l'axiome qui dit que l'axiome du choix est faux.
Cela n'aurait pas d'intérêt de démontrer (après Gödel 1938) que ZF + exclusion de l'axiome est cohérente si ZF l'est puisque ZF + exclusion de l'axiome = ZF.
J'ai compris "exclusion de" comme signifiant "on ne dit rien de".
Dernière modification par Médiat ; 22/06/2017 à 11h00.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
ZF+(non)AC est donc la théorie qui englobe ZF et l'axiome opposé à AC ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
ZF+(non)AC est donc la théorie qui englobe ZF et la négation de AC
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut,
EDIT zut, croisement
Médiat vien de le dire. Je ne sais pas ce que tu veux dire pas "axiome opposé" mais :
ZF + (non)AC = ZF + la négation de l'axiome du choix
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Juste pour éviter un contresens sur le mot "négation", le terme "(non)AC" ne désigne pas la négation de l'existence de AC, mais désigne un axiome qui exprime le contraire de AC ? C'est correct ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Si AC est la formule, nonAC est la formule
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'imagine qu'on exprime la négation de l'axiome du choix ainsi: il existe une famille X d'ensembles telle que pour toute application f de X dans l'union des éléments de X il existe un Y élément de X tel que f(Y) n'est pas élément de Y.
L'axiome du choix peut s'exprimer :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Par exemple, si l'axiome THM dit que "Tous les hommes sont mortels", alors qu'est-ce que (non)THM ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Il existe un homme qui n'est pas mortel
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Admettre que AC et (non)AC sont l'un et l'autre acceptables, cela ne revient-il pas en quelque sorte à considérer que THM et (non)THM seraient également valables ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Tout dépend des autres axiomes.
Si j'ai un axiome qui dit "l'age maximum d'un homme est 127 ans", alors, non, THM et (non)THM ne sont pas également valables.
De même AC et (non)AC sont tous les deux acceptables avec les axiomes de ZF, pas nécessairement avec d'autres.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Mais peut-on inventer de tels axiomes de sorte que THM et non(THM) soient vérifiés au sein d'une même théorie, comme c'est le cas pour AC et (non)AC au sein de ZF ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Autrement dit, pour tout axiome XXX peut-on inventer un système d'axiomes dans lequel XXX et (non)XXX soient valables ?
Ou bien l'axiome du choix est-il le seul ayant cette propriété ?
Dernière modification par andretou ; 22/06/2017 à 13h09.
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Quelque soit la formule
Sinon l'exemple plus concret que j'utilise toujours est la commutativité par rapport à la théorie des groupes.
Toute formule indécidable dans une théorie possède cette propriété (c'est la définition)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
De quoi s'agit-il ? Pouvez-vous SVP nous en dire plus ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Euh, si vous en connaissez aussi peu sur les théories les plus banales, je vous déconseille de vous attaquer à ZF avec ou sans AC, commencez par les bases.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Suffit d'avoir XXX comme seul axiome ou (non)XXX comme seul axiome.
Et comme exemple d'axiomes indépendant célèbres, tu as la puissance du continu par exemple.
Ben, tu as des groupes commutatif et des groupes non commutatifs. C'est assez banal en math.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Oui, ça je sais. Mais qu'est-ce qu'il y a d'axiomatique là-dedans ?
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Salut,
Ben c'est évident il me semble. Tu connais les axiomes des groupes. Et ici la question est de savoir si un axiome est indépendant des autres. Donc peut ajouter un axiome ?
Axiome de groupe + opération interne commutative
ou
Axiome de grouoe + non (opération interne commutative)
Et la réponse est oui puisque l'on connait des groupes commutatifs et des groupes non commutatifs.
L'axiome "opération commutative" est donc indépendant des axiomes de groupes.
L'avantage de cet exemple que Médiat avait déjà présenté sur Futura est sa grande simplicité. Facile à comprendre et à vérifier. Pour l'axiome du choix, la puissance du continu ou l'axiome des parallèles (bien connus lui aussi), il a fallu des grosses pointures.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Aurais-tu la possibilité d'indiquer le lien ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Salut,
Oulàlà, non. Me souviens juste l'avoir vu en parler.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Je n'en disait guère plus, dans ce forum, tout le mondes est censé connaître la théorie des groupes
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Désolé, je ne savais pas que la théorie des groupes était un prérequis pour participer à ce forum...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Salut,
C'est quand même le forum du supérieur (donc universitaire), pas celui du collège/lycée. On est donc censé poser des questions en rapport avec le niveau des mathématiques du supérieur. Et la théorie des groupes est un des trucs les plus basiques dans ce domaine (en fait moi je l'ai même appris au lycée, dans le cadre de l'arithmétique usuelle, mais sans aucun approfondissement).
C'est comme lorsque tu vas sur un forum de cuisine, tu es sensé connaitre la différence entre une entrée et un dessert
Ceci dit, tout s'apprend, c'est pas grave. Et le concept de groupe est particulièrement simple (voir wikipedia par exemple).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Edit croisement Deedee
Edit2 : Je comprends que cela puisse faire peur :
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_theory
Disons que tout le monde est sensé connaître le début de ça :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe...C3%A9matiques)
Dernière modification par stefjm ; 26/06/2017 à 14h03.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Mais pourquoi Médiat me renvoie-t-il à la théorie des groupes à propos des axiomes de commutativité et de non-commutativité ?
La théorie des nombres ne fait-elle pas l'affaire ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Parce qu'il estime que si on pose des questions dans un forum de math de niveau universitaire :
- on est censé savoir ce que sont les groupes
- ou au pire on est censé savoir se service de google pour trouver la définition : https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe....C3.A9finition M'a fallu dix secondes pour trouver ça en utilisant google
Dernière ligne pour la commutativité.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Salut !
Juste pour info, dans certaines fac( dont celle où je suis) la théorie des groupes n est vue qu en L3. Bien sure on a des cours d algèbre avant, essentiellement linéaire, mais guère plus !
Bonne journée !
