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Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?




  1. #1
    andretou

    Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Bonjour à tous
    Sur Wikipedia, on lit :
    En 1938, Kurt Gödel démontre que ZF+AC est une théorie cohérente si ZF l'est.
    En 1963, Paul Cohen démontre que ZF+(non)AC est aussi une théorie cohérente si ZF l'est. Ce qui achève la démonstration de l’indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis des autres axiomes de ZF.


    Que signifie l'expression (non)AC ?
    Désigne-t-elle l'exclusion de l'axiome du choix ?
    Ou désigne-t-elle l'axiome contraire de AC ?

    Merci pour vos réponses

    -----

    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

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  3. #2
    Médiat

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Bonjour à tous
    Sur Wikipedia, on lit :
    En 1938, Kurt Gödel démontre que ZF+AC est une théorie cohérente si ZF l'est.
    En 1963, Paul Cohen démontre que ZF+(non)AC est aussi une théorie cohérente si ZF l'est. Ce qui achève la démonstration de l’indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis des autres axiomes de ZF.


    Que signifie l'expression (non)AC ?
    Désigne-t-elle l'exclusion de l'axiome du choix ?
    Ou désigne-t-elle l'axiome contraire de AC ?

    Merci pour vos réponses
    Bonjour,

    C'est l'axiome qui dit que l'axiome du choix est faux.

    Cela n'aurait pas d'intérêt de démontrer (après Gödel 1938) que ZF + exclusion de l'axiome est cohérente si ZF l'est puisque ZF + exclusion de l'axiome = ZF.

    J'ai compris "exclusion de" comme signifiant "on ne dit rien de".
    Dernière modification par Médiat ; 22/06/2017 à 11h00.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    ZF+(non)AC est donc la théorie qui englobe ZF et l'axiome opposé à AC ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?


  5. #4
    Médiat

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    ZF+(non)AC est donc la théorie qui englobe ZF et la négation de AC
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    Deedee81

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Salut,

    EDIT zut, croisement

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    ZF+(non)AC est donc la théorie qui englobe ZF et l'axiome opposé à AC ?
    Médiat vien de le dire. Je ne sais pas ce que tu veux dire pas "axiome opposé" mais :
    ZF + (non)AC = ZF + la négation de l'axiome du choix
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Juste pour éviter un contresens sur le mot "négation", le terme "(non)AC" ne désigne pas la négation de l'existence de AC, mais désigne un axiome qui exprime le contraire de AC ? C'est correct ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  9. #7
    Médiat

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Si AC est la formule , nonAC est la formule
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. Publicité
  11. #8
    minushabens

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    J'imagine qu'on exprime la négation de l'axiome du choix ainsi: il existe une famille X d'ensembles telle que pour toute application f de X dans l'union des éléments de X il existe un Y élément de X tel que f(Y) n'est pas élément de Y.

  12. #9
    Médiat

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    L'axiome du choix peut s'exprimer : donc on obtient la négation en appliquant les règles habituelles ; ce qui permet de voir que vous avez oublié quelque chose
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Par exemple, si l'axiome THM dit que "Tous les hommes sont mortels", alors qu'est-ce que (non)THM ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  14. #11
    Médiat

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Par exemple, si l'axiome THM dit que "Tous les hommes sont mortels", alors qu'est-ce que (non)THM ?
    Il existe un homme qui n'est pas mortel
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Admettre que AC et (non)AC sont l'un et l'autre acceptables, cela ne revient-il pas en quelque sorte à considérer que THM et (non)THM seraient également valables ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  16. #13
    Deedee81

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Admettre que AC et (non)AC sont l'un et l'autre acceptables, cela ne revient-il pas en quelque sorte à considérer que THM et (non)THM seraient également valables ?
    Tout dépend des autres axiomes.
    Si j'ai un axiome qui dit "l'age maximum d'un homme est 127 ans", alors, non, THM et (non)THM ne sont pas également valables.
    De même AC et (non)AC sont tous les deux acceptables avec les axiomes de ZF, pas nécessairement avec d'autres.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  17. #14
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Mais peut-on inventer de tels axiomes de sorte que THM et non(THM) soient vérifiés au sein d'une même théorie, comme c'est le cas pour AC et (non)AC au sein de ZF ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  18. #15
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Autrement dit, pour tout axiome XXX peut-on inventer un système d'axiomes dans lequel XXX et (non)XXX soient valables ?
    Ou bien l'axiome du choix est-il le seul ayant cette propriété ?
    Dernière modification par andretou ; 22/06/2017 à 13h09.
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  19. #16
    Médiat

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Quelque soit la formule (non trivialement vraie ni trivialement fausse) dans le langage , alors on peut créer la théorie ne contenant que et la théorie ne contenant que , ces deux théories étendant la théorie vide.

    Sinon l'exemple plus concret que j'utilise toujours est la commutativité par rapport à la théorie des groupes.

    Toute formule indécidable dans une théorie possède cette propriété (c'est la définition)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #17
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Sinon l'exemple plus concret que j'utilise toujours est la commutativité par rapport à la théorie des groupes.
    De quoi s'agit-il ? Pouvez-vous SVP nous en dire plus ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  21. #18
    Médiat

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Euh, si vous en connaissez aussi peu sur les théories les plus banales, je vous déconseille de vous attaquer à ZF avec ou sans AC, commencez par les bases.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #19
    Deedee81

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Autrement dit, pour tout axiome XXX peut-on inventer un système d'axiomes dans lequel XXX et (non)XXX soient valables ?
    Ou bien l'axiome du choix est-il le seul ayant cette propriété ?
    Suffit d'avoir XXX comme seul axiome ou (non)XXX comme seul axiome.

    Et comme exemple d'axiomes indépendant célèbres, tu as la puissance du continu par exemple.

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    De quoi s'agit-il ? Pouvez-vous SVP nous en dire plus ?
    Ben, tu as des groupes commutatif et des groupes non commutatifs. C'est assez banal en math.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  23. #20
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Ben, tu as des groupes commutatif et des groupes non commutatifs. C'est assez banal en math.
    Oui, ça je sais. Mais qu'est-ce qu'il y a d'axiomatique là-dedans ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  24. #21
    Deedee81

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Salut,

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Oui, ça je sais. Mais qu'est-ce qu'il y a d'axiomatique là-dedans ?
    Ben c'est évident il me semble. Tu connais les axiomes des groupes. Et ici la question est de savoir si un axiome est indépendant des autres. Donc peut ajouter un axiome ?
    Axiome de groupe + opération interne commutative
    ou
    Axiome de grouoe + non (opération interne commutative)

    Et la réponse est oui puisque l'on connait des groupes commutatifs et des groupes non commutatifs.

    L'axiome "opération commutative" est donc indépendant des axiomes de groupes.

    L'avantage de cet exemple que Médiat avait déjà présenté sur Futura est sa grande simplicité. Facile à comprendre et à vérifier. Pour l'axiome du choix, la puissance du continu ou l'axiome des parallèles (bien connus lui aussi), il a fallu des grosses pointures.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  25. #22
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    L'avantage de cet exemple que Médiat avait déjà présenté sur Futura...
    Aurais-tu la possibilité d'indiquer le lien ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  26. #23
    Deedee81

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Salut,

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Aurais-tu la possibilité d'indiquer le lien ?
    Oulàlà, non. Me souviens juste l'avoir vu en parler.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  27. #24
    Médiat

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Je n'en disait guère plus, dans ce forum, tout le mondes est censé connaître la théorie des groupes
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  28. #25
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je n'en disait guère plus, dans ce forum, tout le mondes est censé connaître la théorie des groupes
    Désolé, je ne savais pas que la théorie des groupes était un prérequis pour participer à ce forum...
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  29. #26
    Deedee81

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Salut,

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Désolé, je ne savais pas que la théorie des groupes était un prérequis pour participer à ce forum...
    C'est quand même le forum du supérieur (donc universitaire), pas celui du collège/lycée. On est donc censé poser des questions en rapport avec le niveau des mathématiques du supérieur. Et la théorie des groupes est un des trucs les plus basiques dans ce domaine (en fait moi je l'ai même appris au lycée, dans le cadre de l'arithmétique usuelle, mais sans aucun approfondissement).

    C'est comme lorsque tu vas sur un forum de cuisine, tu es sensé connaitre la différence entre une entrée et un dessert

    Ceci dit, tout s'apprend, c'est pas grave. Et le concept de groupe est particulièrement simple (voir wikipedia par exemple).
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  30. #27
    stefjm

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Edit croisement Deedee

    Edit2 : Je comprends que cela puisse faire peur :
    https://en.wikipedia.org/wiki/Group_theory

    Disons que tout le monde est sensé connaître le début de ça :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe...C3%A9matiques)
    Dernière modification par stefjm ; 26/06/2017 à 14h03.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  31. #28
    andretou

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Mais pourquoi Médiat me renvoie-t-il à la théorie des groupes à propos des axiomes de commutativité et de non-commutativité ?
    La théorie des nombres ne fait-elle pas l'affaire ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  32. #29
    Deedee81

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Mais pourquoi Médiat me renvoie-t-il à la théorie des groupes à propos des axiomes de commutativité et de non-commutativité ?
    Parce qu'il estime que si on pose des questions dans un forum de math de niveau universitaire :
    - on est censé savoir ce que sont les groupes
    - ou au pire on est censé savoir se service de google pour trouver la définition : https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe....C3.A9finition M'a fallu dix secondes pour trouver ça en utilisant google
    Dernière ligne pour la commutativité.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  33. #30
    slivoc

    Re : Axiome du choix : que désigne le terme (non)AC ?

    Salut !
    Juste pour info, dans certaines fac( dont celle où je suis) la théorie des groupes n est vue qu en L3. Bien sure on a des cours d algèbre avant, essentiellement linéaire, mais guère plus !

    Bonne journée !

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