L'axiome de choix.

[philname]

Quelqu'un pourrait m'expliquer plus clairement ce qu'est un axiome de choix ?
J'ai cherché sur le net, mais comme je suis pas trop matheux, j'ai du mal à comprendre parfois.

http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap4.pdf
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[invite4ef352d8]

Salut !


L'axiome du choix, c'est quelque chose qui t'autorise a faire une infinité de choix simultané.

par exemple si tu sais que "il existe x telle que P(x) " (ou P est une proriété quelconque) alors tu as le droit de dire soit x telle que P(x), sans utiliser l'axiome du choix.


mais si tu sais que "pour tous n, il exist x telle que Pn(x)" alors tu as bessoin d'un axiome suplaimentaire qui t'autorise a dire "soit xn telle que pour tous n Pn(xn)".

en géneral ce qui est le plus troublant avec cette axiome c'est de voir pourquoi on en a bessoin...

en gros tu as recours à l'axiome du choix à chaque fois que :
1) tu dois faire une infinité de choix simultané
2)qu'il n'y a pas de moyen "canonique" de faire ces choix
(par exemple si tu as trouvé que pour n il existe UN UNIQUE x telle que Pn(x), ou que l'ensemble des x telle que Pn(x) possede un peu de structure qui te permette de dire qu'elle x tu prend, "le plus petit x telle que" par exemple, alors tu n'as pas bessoin de l'axiom du choix)


Cette axiome "à l'air vrai" (évident quoi), mais il à des conséquences qui elles sont beaucoup moins intuitive (cf le poly de Dehornoy que tu met en lien, qui multiplie les exemples d'applications de l'axiome du choix) c'est pourquoi on a longtemps essayé de le remttre en question - et qu'on garde encore aujoud'hui l'habitude de d'essayer de savoir ou il est utile, car il à tendance à créer des objet pathologique qu'il est impossible d'éxhiber...)

[Médiat]

Pour être franc, difficile de faire mieux que le document que tu cites. Je peux juste ajouter que cet axiome est lié aux contraintes d’expressivité de la logique classique du premier ordre dans un langage dénombrable. Par exemple si on considère la famille de sous ensembles de , est-ce que je peux définir un moyen de choisir un élément dans chacun de ces ensembles ? Ici la réponse est facile et ne nécessite pas l’axiome du choix : on choisit n dans ; mais est-ce que je peux faire la même chose pour toutes les familles de sous-ensembles de ? Avec un langage qui ne me permet de définir qu’un nombre dénombrable de sous-ensembles de , alors qu’il y en a beaucoup plus, on conçoit aisément que définir une fonction de choix sur des ensembles non définissables ne doit pas marcher à tous les coups.
Bertrand Russell faisait une analogie : dans un ensemble infini de tiroirs contenant une paire de chaussettes chacun, j’ai besoin de l’axiome du choix pour choisir une chaussette dans chaque tiroir, alors que dans un ensemble infini de tiroirs contenant une paire de gants chacun, je n’ai pas besoin de l’axiome du choix pour choisir un gant dans chaque tiroir (il suffit de dire " je prends le gauche dans chaque tiroir ").


[Edit]Grillé par Ksilver, que j'approuve.

[Médiat]

On conçoit aisément que définir une fonction de choix sur des ensembles non définissables ne doit pas marcher à tous les coups.

On conçoit aisément que j'ai dit une grosse con**ie, puisque je parlais de IN qui est un bon ordre, il suffit donc de prendre le plus petit dans chaque sous-ensemble (ce qui explique le théorème de Zermelo) , et pas besoin de l'axiome du choix, par contre pour IR ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[philname]

Dans le magazine Tangante ils parlent de l'axiome du choix.

Excusez-moi je ne suis pas mathématicien. Mais j'aime ce côté philosophique de l'axiome du choix et de l'ordre.

Engros ce que j'ai compris :
On définie des axiomes, puis on "construit" à partir de ces axiomes un système ordonné. On appelle donc "axiome de choix" la démarche de choisir à tel ou tel moment un axiome qui justifie une relation entre les autres axiomes ou ensemble ?


Sinon si j'ai faux, quelqu'un pourrait m'expliquer en langage moins matheux cette phrase :
"L’axiome du choix AC affirme qu’il est l´egitime de construire des objets
math´ematiques en r´ep´etant un nombre infini de fois l’op´eration de choisir un ´el´ement
dans un ensemble non vide"

[invite2220c077]

Question totalement hors-sujet mais quelqu'un sait-il si l'auteur de ce PDF, Patrick Dehornoy, a un lien de parenté avec un dénommé Pierre Dehornoy, élève à Ulm ?

Juste une simple question de curiosité .

[invite4ef352d8]

"On appelle donc "axiome de choix" la démarche de choisir à tel ou tel moment un axiome qui justifie une relation entre les autres axiomes ou ensemble ?"

>> non l'axiome du choix, est juste un axiome "comme les autres".
je vois pas trop comment dire de facon plus vulgarisé ce qu'il dit à part dire qu'il "autorise a faire une infinité de choix simultané".

bon peut-etre cette exemple te parlera plus que ce qu'on a dit jusqu'a présent :

quand on décrit un ensemble de réel : par exemple l'ensemble des entier, l'ensemble des rationelle, l'ensemble des réel entre 0 et 1. etc... on arrive à obtenir que des ensemble "relativement sympatique", pas "trop" étrange. je pense notement au fait que pour tous ces ensembles on arrive à définir la notion de "surface" (enfin la place qu'il occupe dans R quoi...)

mais si on voulait choisir "plein" de réel "au hasard" qu'on en pend suffisement (un nombre non dénombrable) on peut imaginer des ensemble totalement saugrenue pour le quelle la notion de surface n'aurait aucun sens.

c'est l'axiome du choix qui autorise à faire cela : choisir plein de réel en meme temps.
sans lui il y a plein de chose qu'on ne pourrait pas faore, notement parceque on ne pourrait étudier qu'une toute petite partie des ensembles de réel, seulement sont qu'on peut décrire avec des symboles mathématique, et on sais que quelque soit la compléxité du language qu'on utilise il y en a toujour plein d'autre. (bon la les exemples sont un peu complexe pour un non mathématicien... ) mais il y a un ou deux exemple de truc "pathologique" que cette exemple permet de construire : par exemple on peut prouver qu'il est possible de couper une sphere en 4 morcaux, puis de recoller ces 4 morcaux entre eux (sans les déformern juste en les déplacant) pour Obtenir deux sphere chacune identique à la précedente. la technique est en gros (mais vraiment tres gros) de faire un découpage tellement irrégulier que la notion de volume n'as plus aucun sens.

je sais pas si c'est beaucoup plus claire que les autres exemple que tu as déja put lire...

enfin l'axiome du choix est tous de meme un concepte tres complexe, qu'il est difficile de vulgariser.


-Zweig- : Patrick Dehornoy faisait le cours de Logique d'Ulm il y a quelque année (c'est de la que viens le Pdf), donc c'est pas impossible. maintenant je connait pas Pierre Dehornoy donc je peut pas trop dire, (mis à part quelque considération géographique qui me font pensé que en tous cas, c'est probablement pas son fils). ceci dit si tu connais pierre dehornoy, tu peut toujour aller voir sur le site de Patrick dehornoy (cherche sur google) et tu pourra trouver une photo de sa famille qui pourra peut-etre trancher la question

[invite2220c077]

Ksilver > Merci. En effet, Pierre Dehornoy a bien un lien de parenté avec cette personne, c'est bien son fils. Je m'en doutais un peu, en plus de son nom, car pendant un stage de mathématique il nous avait fait une conférence sur les noeuds, qui est apparament le sujet de recherche de son père .