Axiome du choix

[Etrange]

Salut à tous !

Vous avez sans doute déjà eu pas mal de questions sur cet axiome mais voila il y a un élément qui me perturbe à son sujet. Je pense concevoir à peu près le fait qu'il n'est pas facile de définir une fonction qui retourne un élément quelconque d'un ensemble de manière générale et c'est d'ailleurs là que je pensais que résidait toute l'intérêt de l'axiome. Mais j'ai pu lire dans un autre post à ce sujet que l'axiome du choix était nécessaire dès lors que l'on devait effectuer une infinité de choix simultanés sur une infinité d'ensembles. Je ne comprend pas la nécessité de considérer une infinité d'ensembles. Qu'est-ce que cela apporte par rapport à la considération d'un seul ensemble quelconque ?

Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonjour,

Si vous n'avez qu'un seul ensemble X, non vide, pour tout x dans X, {X, {X, x}} existe, et vous avez votre fonction de choix.

[gg0]

Bonjour Etrange.

On a besoin dans la construction des mathématiques (comme on la fait actuellement) de considérer une infinité d'ensembles simultanément.
Pour illustrer caricaturalement la nécessité de la fonction de choix, considérons une infinité de paires de chaussures. il est facile de désigner une chaussure de chaque paire (la chaussure droite par exemple). Mais comment faire pour une infinité de paires de chaussettes ?

Cordialement.

[toothpick-charlie]

Mais comment faire pour une infinité de paires de chaussettes ?

ben si on peut mettre en bijection les chaussettes et les chaussures, il suffit de prendre la chaussette correspondant à la chaussure droite

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etrange]

Re.

Merci pour vos réponses ! gg0, tu dis qu'il est facile de choisir l'une des chaussures d'une paire, je le conçois car elles sont effectivement discernables. Pour les chaussettes, je pensais que la difficultés résidait dans le fait que les deux sont identiques. Or Médiat a donné la démonstration que pour un ensemble fini d'ensemble il était possible de définir une fonction de choix pour chacun d'eux. Donc pour une paire il est possible de définir une fonction de choix si je ne me méprend pas, même si nos éléments sont "identiques". C'est à ce niveau que ma compréhension pêche. Pourquoi n'est-il pas possible de répéter la démonstration de Médiat sur tous les ensembles d'une famille infinie ?
Médiat, j'ai du mal avec la démonstration, je ne comprend pas où est fait le choix. A quoi l'ensemble formé sert-il ?

Merci.

[gg0]

Mais justement, l'axiome du choix dit qu'on peut définir une fonction de choix.

Donc on peut définir un ensemble qui contient exactement une chaussette de chaque paire et rien d'autre. C'est une pur objet théorique, puisqu'on ne sait pas faire concrêtement. mais il fonde une aprtie des mathématiques actuelles.

Cordialement.

[Etrange]

Ce que je veux dire c'est pour une seule paire de chaussette il n'est pas nécessaire d'invoquer l'axiome du choix pour définir une fonction de choix (si j'ai bien compris la réponse de Médiat). Donc il est possible de définir une fonction qui choisit l'une des chaussettes d'une paire sans utiliser l'axiome. Mais il n'est pas possible d'en faire de même pour un ensemble infini de paires de chaussettes. D'où ma question, pourquoi ne peut-on pas répéter l'opération réalisée sur une paire sur toutes les paires et en déduire que l'on peut définir notre fonction de choix sans invoquer l'axiome du choix ?

[Médiat]

Bonsoir,
Vous pouvez regarder là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1579998.

Une remarque : dans certains cas, même infini, le choix est possible sans avoir besoin de l'axiome du choix (par exemple dans la famille {[n; n+1[/ n dans IN}, il est facile de choisir un élément dans chaque ensemble (cas des chaussures) !

[gg0]

pourquoi ne peut-on pas répéter l'opération réalisée sur une paire sur toutes les paires et en déduire que l'on peut définir notre fonction de choix sans invoquer l'axiome du choix ?

Fais-le !
Pour l'instant, on n'a pas su faire et les mathématiciens ont dû se résoudre à cet axiome, ou un autre équivalent.
Dire on le fait une infinité de fois n'a pas de sens, ou c'est justement l'axiome du choix. Mais même pour une paire, tu l'as devant toi, moi pas : Quelle chaussette as-tu choisie ?

Cordialement.

NB : Le problème est qu'on ne veut travailler qu'avec des procédures finitistes, que "faire une infinité de fois" n'est pas une procédure finitiste. Il a fallu un axiome pour dépasser ça.

[Etrange]

Re.

Merci. Je crois que je comprend mieux . C'est sûr que dès qu'un ensemble peut être ordonné, la définition de notre fonction est simple.
Médiat, peut-on revenir à la démonstration que tu m'as faite plus haut ? J'ai l'impression de ne pas tout saisir. A quoi sert l'ensemble que tu définis ? J'ai l'impression que dans cette démonstration le seul fait d'affirmer qu'il existe x dans X permet de montrer que l'on peut faire un choix. C'est cela ?
gg0, je me lance dans la quête de la démonstration dès maintenant . Effectivement les problèmes apparaissent avec le nombre infini d'éléments, c'est de là que vient la subtilité.

[Médiat]

L'ensemble que j'ai défini est une fonction de choix sur la famille constituéee de X, c'est à dire une fonction qui à chaque enesmble de la famille fait correspondre un de ses éléments