R + Axiome du choix reste-il archimédien.

[invited6a8e0a5]

Bonjour,

La question est dans le titre, merci.
PS: R/ "Hyperrels" bien sur.
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[Médiat]

La question est dans le titre, merci.
PS: R/ "Hyperrels" bien sur.

Bonjour,
Je ne comprends pas la question,
Qu'est que R ? Les réels ?
Que signifie un modèle (R) moins un axiome (du choix) ?
Que veux dire R/"Hyperrels" ? R - les hyperréels ?

[invited6a8e0a5]

Bonjour,
Je ne comprends pas la question,
Qu'est que R ? Les réels ?
Que signifie un modèle (R) moins un axiome (du choix) ?
Que veux dire R/"Hyperrels" ? R - les hyperréels ?

Bonsoir,
Alors R pour corps des réel (archimédien complet).
Les hyperrels au sens hy>r pour tout r mais hy < infini (je ne parle pas Latec).
Bref les hyperrels tels "qu'autorisés" par l'axiome du choix et qui ont un coté pas très archimedien.
Oui R/"Hyperrels" = R - les hyperréels
Je ne suis pas convaincu que ma question ait un sens
Si oui, quid ?

Merci.

[Médiat]

L'analyse non standard n'est pas ma spécialité, mais il me semble que :

l'axiome du choix est souvent utile pour l'ANS de Nelson et pour la version de Robinson il est nécessaire (en tout cas une version faible : l'axiome de l'ultrafiltre) car on a besoin d'ultrafiltres.


IR - hyperréels = IR

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Salut,

C'est très étrange comme question étant donné que le but de la construction des hyperréels c'est en partie de construire une extension non archimédienne de l'ensemble des réels puisqu'on veut construire des nombres qui sont plus grands que tout nombre entiers et qui donc remettent en cause le caractère archimédien. Cela me semble crétin (passe moi l'expression) de chercher à avoir un ensemble d'hyperréels archimédien. Il me semble que (je connais pas grand chose en analyse non standard) l'ensemble des réels est archimédien indépendamment de l'axiome du choix et que l'ensemble des hyperréels est non archimédien par définition. T'as question c'est est-ce que l'axiome du choix est nécessaire à la définition de l'ensemble des hyperréels, ou du moins des infiniment grands? En tout cas dans ce que j'avais lu il me semblais que non.

[Médiat]

Comme je le disais dans mon post précédent, il existe deux (voire plus) constructions classiques des hyperréels (noté *IR)
Celle de Robinson qui est une construction à partir de IR et qui utilise des ultrafiltres, l'axiome de l'ultrafiltre (plus faible que l'axiome du choix) y est nécessaire.
Celle de Nelson, purement axiomatique, à partir de ZF ne nécessite pas AC, mais celui-ci est nécessaire pour la démonstration de quelques théorèmes.

Je voudrais aussi faire une remarque, au cas où un spécialiste de l'ANS passerait par ici : on dit que IR est Archimédien, parce que pour tout x, y dans IR positifs, il existe n dans IN tel que nx > y.
Pour *IR cette propriété est fausse si on l'écrit pour tout x, y dans *IR positifs, il existe n dans IN tel que nx > y ; mais est-ce qu'il ne faudarit pas utiliser une autre définition : pour tout x, y dans *IR positifs, il existe n dans *IN tel que nx > y, qui est vraie il me semble, on pourrait alors dire que *IR est *Archimédien.

[invited6a8e0a5]

Merci à vous deux.
J'avais conscience de la "stupidité" de ma question mais ne savais pas comment formuler ma pensée.

"T'as question c'est est-ce que l'axiome du choix est nécessaire à la définition de l'ensemble des hyperréels, ou du moins des infiniment grands? En tout cas dans ce que j'avais lu il me semblais que non."

C'est finalement la question que j'aurais souhaité formuler, merci.

PS: il me semblait pourtant que C était quleque part indispensable pour assurer l'existence de IR au sens si IR alors C.