R est archimedien.

[invite43fd7e20]

Bonjour a vous,
Voila j'ai un petit probleme concernant une demonstration de R est archimedien :
on procède par l'absurde en supposant pour tout x dans R*+ et y ds R
il existe n dans N tel que xn<y
On considère l'ensemble E={nx , n appartient à N) il est majoré et non vide donc admet une borne sup qu'on appelle a d'où : nx<a on peut ensuite écrire et c'est la que je ne comprend pas : (n+1)x <(ou=) y
On peut dire cela lorsqu'on travaille sur des entiers mais ici x et y sont bien réels ? Est'ce la condition "pour tout N" qui permet de dire cela ?

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

J'avoue ne pas comprendre ce passage :

on procède par l'absurde en supposant pour tout x dans R*+ et y ds R
il existe n dans N tel que xn<y

[invite43fd7e20]

on procède par l'absurde en supposant pour tout x dans R*+ et y ds R
il existe n dans N tel que xn<y

Je me suis trompé, c'est pour tout n dans N.
Desolé

[invite57a1e779]

c'est pour tout n dans N.

Si tu supposes que ton inégalité vaut pour tout entier n, elle vaut en particulier pour l'entier 1+sup(E).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Tu as du faire une erreur de recopiage, parce que la négation de la propriété d'Archimède est :
: bref, tu as inversé les quantificateus universels et existentiels.

Mais apparemment, le reste de la démo part du bon énoncé de la négation.

On peut effectivement dire que (n+1)x<y parce que la propriété est vraie pour tout n, et que (n+1) est bien un entier.

[invite43fd7e20]

ok en fait on peut dire que la relation est vrai pour n+1 et en faisant passer de l'autre coté le x qu'on trouve en devellopant on a nx<Sup(E)-x ce qui est impossible.. ok merci bien