Bonsoir,

Voilà, j'ai fais un exercice sur les variables aléatoires (va)et je voudrai savoir si quelqu'un pouvait jeter un coup d'oeil sur ce que j'ai fais afin de me dire si c'est juste ou non.


Sur un espace probabilisé (w, F, P) on considère la va (X,Y) à valeurs ds R², absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, de densité f(X,Y) définie par:
f(X,Y) (x,y) = a*exp(-ax) 1[0,+inf[(x) 1[x,x+1](y)


1) Déterminer la loi de probabilité de la va X
2) Les va X et Y sont elles indépendantes ?
3) Déterminer la loi conditionnelle de la va Y sachant (X=x), x appartient à R+
4) Calculer E[Y/X=x] pour x appartenant à R+
5) En déduire E[Y/X]
6) Soient U et V les va définies sur l'espace (w, F, P) par U=X, V= X-Y
déterminer la loi de probabilité de la va (U,V)
7) les va U et V sont elles indépendantes ?
8) Déterminer la loi de probabilité de la va V.



Ma solution :

1)
fX(x)
= intégrale de x à (x+1) de a*exp(-ax) 1[0,+inf[(x) dy
= a*exp(-ax) 1[0,+inf[(x)


2) non X et Y ne st pas indépendantes car les fonctions indicatrices ne sont pas définies sur le même intervalle.


3)
f(Y/X=x)(y)
= f(X,Y)(x,y) / fX(x)
= 1 * 1[0,+inf[(x) 1[x,x+1](y)


4)
E[Y/X=x]
= intégrale de x à (x+1) de y*1 * 1[0,+inf[(x) 1[x,x+1](y) dy
=...
= (2x+1) / 2 1[0,+inf[(x)


5) E[Y/X] est une va mesurable donc il existe une fonction G borélienne tq E[Y/X]=G(X).
dans ce cas, E[Y/X=x] = G(x).
Or E[Y/X=x] = (2x+1) / 2 1[0,+inf[(x).
Donc G(x) = (2x+1) / 2 1[0,+inf[(x)
Donc E[Y/X]= (2X+1) / 2 1[0,+inf[(x)


6)
Changement de variables :
u=x et v=x-y
la matrice jacobienne donne J=-1
vu que x défini de 0 à +inf, on a x>=0 donc u>=0
y appartient à [x,x+1] donc y>=0 implique u>=v

mon domaine et d={(u,v) € R² tq 0 <= u <= v}

Je ne suis pas sur de mon domaine, je viens de me demander s'il ne fallait pas plutot partir pour y de x <= y <= x+1 ?

Pour les autres questions j'ai continué avec mon domaine d.

je trouve ainsi :
f(U,V)(u,v) = a*exp(-au) 1d(u,v)


7) non U et V ne sont pas indépendantes car leur fonction indicatrice ne sont pas définies sur le même intervalle.


8)
fV(v)
= intégrale de 0 à v de a*exp(-au) 1(0<=u<=v) du
= ...
= 1 - exp(-av) 1(v>=0)




Je vous remercie beaucoup de m'avoir lu et d'avoir pris du temps pour me dire si mon exercice est juste ou faux.

bonne journée