séries à termes strictement positifs

[invite69baa1f1]

Bonjour,

J'aimerais avoir quelques indications concernant ces questions car j'ai vraiment du mal à m'en sortir.


1. Montrer que l’on définit une unique suite (un) à termes strictement positifs en posant : u1=1 et, pour tout entier n supérieur ou égale à 2,
.................. n-1
un = 1/(2n-1) ∑ uj
.................. j=1
.............................. .............................. .............................. ..........n-1
2. Montrer que la série de termes général un est divergente et donner lim ∑ uj.
.............................. .............................. .............................. ..........j=1

Je ne vois pas comment étudier la nature de la série un car il y a une somme.

Merci
-----

[invitec053041c]

Salut.

Tu sais que tous les Uj sont >0. Et U1=1.

Donc (même >1 pour n plus grand que 2).

Tu conclus donc, par comparaison.

[invite69baa1f1]

Merci pour m'avoir répondu rapidement. Donc pour conclure, il faut que j'utilise la règle de d'alembert.

[thepasboss]

La règle de d'alembert ? je ne vois pas vraiment pourquoi s'embarasser avec ça, de plus est-se qu'on ne tombe pas sur une limite de 1 (qui est je crois le cas où on ne peut rien dire) ?

Pourquoi ne pas tout simplement comparer ta série avec la série des comme semble te l'indiquer ledescat ?

Ca marche très bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

La règle de d'alembert ? je ne vois pas vraiment pourquoi s'embarasser avec ça, de plus est-se qu'on ne tombe pas sur une limite de 1 (qui est je crois le cas où on ne peut rien dire) ?

Pourquoi ne pas tout simplement comparer ta série avec la série des comme semble te l'indiquer ledescat ?

Ca marche très bien

oui c'est ça .

[invite69baa1f1]

D'accord pour la comparaison. Mais je viens juste de me demander pour la 1ère question, si il faudrait pas surment faire une récurrence forte, qu'est ce que vous en pensez?

[invitec053041c]

D'accord pour la comparaison. Mais je viens juste de me demander pour la 1ère question, si il faudrait pas surment faire une récurrence forte, qu'est ce que vous en pensez?

Ben, si tu veux...mais c'est pas nécéssaire. Je pense que c'est enfoncer des portes ouvertes de faire une récurrence, alors qu'on peut dire que tous les termes sont positifs, le premier est =1, donc la somme de tous les termes est >=1 .

[invite69baa1f1]

D'accord. Merci

[invite35452583]

Juste pour la mise en forme, Emmanuelle31 tu devrais voir ce fil LaTeX.
Tu verras ce n'est pas très difficile d'utilisation (du moins pour les expressions simples du type ).
C'est plus élégant et ça prend en tout cas beaucoup moins de temps que d'ajuster une longue suite de points pour aligner correctement.

[invite69baa1f1]

merci pour l'astuce

[invite69baa1f1]

J'ai établi par la suite que Un+1= (2n)/(2n +1)Un

Il faut en déduire que la suite (Un) est convergente.
Donc je pensais montrer:
- qu'elle est décroissante
- qu'elle est minorée

Pour montrer qu'elle est décroissante, je peux étudier le signe de Un+1 - Un, mais est-ce la meilleure méthode, car il me semble que c'est compliquer, pour montrer que Un+1 - Un 0

[invitec053041c]

Tous tes termes sont positifs.

Donc si tu montres que U(n+1)/Un=<1, tu as gagné la décroissance .

[invite69baa1f1]

u(n+1)/un = 2n/(2n -1)
donc u(n+1)/un 1

De plus d'après les questions précédentes, je sais que Un 1, donc Un est minorée par 1.

Conclusion: Un est convergente

[Flyingsquirrel]

Salut

De plus d'après les questions précédentes, je sais que Un<=1, donc Un est minorée par 1.

Non, (Un) est majorée par 1 et ça ne permet pas de conclure.

[invitec053041c]

Tu trouveras ton minorant dans ton titre .

[invite69baa1f1]

Une suite de la forme U (n+1) = f ( Un), si elle converge, a pour limite l tel que l = f(l). Si je détermine le réel l, est-ce que je pourrais montrer qu'elle est minorée ou non?

[invitec053041c]

Regarde mon post précédent..

[invite69baa1f1]

ah oui, je suis bête...

[invite69baa1f1]

Désolée, mais j'ai encore quelques questions...

Il m'est demandé de déterminer un équivalent de ln lorsque n tend vers et de déterminer la nature de la série de terme général ln .



Pour déterminer la nature de la suite, je pensais utiliser le critère d'équivalence avec la série harmonique mais je n'arrive pas à déterminer l'équivalent en .
Je connais un équivalent avec le ln mais au voisinage de 1:
ln u est équivalent à u-1 au voisinage de 1.

=
ln = ln

Là je suis bloquée...

Merci

[invitec053041c]

(2n+1)/(2n)=1+(1/2n).

C'est de la forme ln(1+x) avec x qui tend vers 0..

ln u est équivalent à u-1 au voisinage de 1.

Pas de somme d'équivalents !

Préférer écrire ln(1+u) équivalent à u au voisinage de 0.

[invite69baa1f1]

merci, je vais voir pour avancer!