Ker(u) inclus strictement dans Im(u)...

[invite20631644]

Bonjour à tous ,

Je suis passé en kholle avec mon prof de math et il m'a donné un exercice typique selon ses propos d'algébre linéaire puis il m'a posé deux questions qui m'ont un peu beaucoup coincé et auquelles je dois repondre trés bientôt...
Ces questions sont : " Donnez moi des exemples d'ensembles tel que ker(u) inclus strictement dans Im(u) et des exemples tel que Im(u) inclus strictement dans ker(u). '' . Mon prof m'a mis sur la voie en me donnant une matrice 2*2 : 0 1
0 0 ... pourriez vous m'aider s'il vous plait. Merci
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[invite986312212]

je suppose que tu cherches des exemples d'endomorphismes, pas d'ensembles.
il y a deux exemples triviaux et tu n'as pas à écrire les matrices. Ca revient à prendre Ker u minimal (u bijective) et Ker u maximal (u nulle). (et à discuter un peu du cas de E=O pour montrer qu'on sait pinailler)

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Mettons que tu veuilles raisonner en dimension 3.
Tu prends une base e1, e2,e3, par exemple la base canonique.
Tu veux construire une application linéaire A sur R^3, qui vérifie certaines propriétés.
En fait, A est uniquement déterminé par l'image de la base.
Pose donc Ae1 = f1, Ae2=f2, et Ae3= f3.
Alors l'image de A va être Vect(f1,f2,f3), tandis que le noyau va plutot être l'ensemble des vecteurs tels que Ax = 0. Bon, maintenant, tout ça, c'est très général, je pourrais imposer de choisir mes vecteurs fi parmi les ej et 0. Et je t'assure qu'en jouant avec ça, on peut déjà construire tout plein de chose. Et notamment tous les contre exemples dont tu as besoin.

[edit: Ambrosio est effectivement bien plus efficace que moi sur ce coup là... /edit]
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rvz