"Etre élément de" et "être inclus dans"

[invite56460777]

J'ai du mal à faire la différence entre "être inclus dans" et "être élément de".
Je crois avoir compris qu'un (sous)-ensemble ne peut être élément d' un autre mais peut-être inclus. Mais je ne suis pas certaine

Si on a M= {1, |N }, 1 € M --- Ok
2 n'appartient pas à M --- OK
|N € M --- Pourquoi?
|N non inclus dans M --- là je vois encore moins pourquoi. Tous les éléments de |N se retrouvent bien dans M?

{1} inclus dans M --- ca me semble normal mais je sais pas pourquoi. Par ailleurs, {1} appartient-il ou pas à M?

Merci de m'expliquer. Ca doit être très simple comme toujours mais là je flotte un peu...
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[yat]

Un élément appartient à un sensemble s'il... euh... ben s'il en fait partie.
Un ensemble est inclus dans un autre ensemble si tous ses éléments appartiennent à cet autre ensemble.

Dans ton exemple :
M contient deux éléments, dont l'un est un entier (1) et l'autre est un ensemble (N). N appartient à M, parce qu'il s'agit bien d'un élément de l'ensemble. Mais attention, si 1 appartient à M, ce n'est pas le cas de 2. En gros, l'inclusion n'est pas récursive.

Du coup, 2 est un élément de N, donc 2 appartient à un élément de M, mais 2 n'EST pas un élément de M. Donc N n'est pas inclus dans M, parce que tous ses éléments n'appartiennent pas à M.

[inviteb0df2270]

Exemples:

1) S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1 est élément de S
{1} est inclus dans S mais n'est pas élément de S
{1,2,3} est inclus dans S mais n'est pas élément de S
{1,13} n'est pas inclus dans S

2) S={{1,2},{3,4,5},{6,7,8,9}}

1 n'est pas élément de S
{1,2} est élément de S mais n'est pas inclus dans S
{{1,2}} est inclus dans S mais n'est pas élément de S
{{1,2},{3,4,5}} est inclus dans S mais n'est pas élément de S
{{1,2},{3,4}} n'est pas inclus dans S


Ces 2 exemples pour te montrer qu'il faut faire attention au vocabulaire surtout lorsqu'on manipule des ensembles d'ensembles...
J'espère juste qu'ils ne vont pas t'embrouiller encore plus.

[invite56460777]

Prenons d'autres exemples pour voir si j'ai compris:

1-
A=2 et B= {3,4,5,2}, A appartient à B mais A n'est pas inclus dans B

2-
A= {2} et B= {3,4,5,2}, A est inclus dans B mais A n'appartient pas à B

3-
A= {-1,1} et B={-1, {-1,1}} A appartient à B mais A pas inclus dans B

4-A= {-1,1} et B={-2,-1,1,2}, A est inclus dans B mais A n'appartient pas à B

5- A= |Q et B= {|Z, |Q, |R}, A appartient à B mais A pas inclus dans B

6- A= |Q et B= |Q U (|R \ |Q), A inclus dans B mais A n'appartient pas à B

Je ne suis toujours pas certaine d'avoir compris la différence de vocabulaire entre "Etre élément de" et "être inclus dans".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8961440]

on parle d'inclusion d'un ensemble dans un autre(ensembles d'éléments de meme nature) et d'appartenance pour dire qu'un élément fait partie de la liste des éléments d'un ensemble d'éléments,l'inclusion relie deux ensembles d'éléments de meme nature alors que l'appartenance relie un élément p et un ensemble d'éléments de meme nature que p.

[invite4910fcda]

Ah ba moi aussi je me posait cette question tien mais c'est vachement clair avec les exemples.