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Période de composées de fonctions périodiques



  1. #1
    Bleyblue

    Période de composées de fonctions périodiques

    Bonjour,

    Quelqu'un peut il me dire comment faire pour savoir si une fonctions composée (à partir d'au moins une fonctions périodique) est périodique ?

    Exemples :

    f(x) = cos(x) + sin(x) périodique ?

    f(x) = cos(x)sin(x) périodique ?

    f(x) = x + cos(x) périodique ?

    f(x) = xcos(x) périodique ?

    f(x) = xtan(x) + x périodique ?

    etc.. etc...

    Je pense que pour qu'elles soit périodiques, toutes les fonctions élémentaires qui les composent doivent l'être (mais je ne suis pas sûr).

    Et, pour celles qui le sont, pouvez vous me dire comment déterminer leur période (en sachant que cos(x), sin(x) -> T = 2pi, tg(x) -> T = pi)

    Merci bcp pour votre aide,

    Zazeglu

    -----


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  3. #2
    Remaillle

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    je pense effectivement que les fonctions elmentaires doivent etre périodiques. pour trouver ta periode tu poses f(x)=f(x+T) et tu essaies de trouver T....

  4. #3
    olle

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    toute composée de fonctions périodiques est périodique (ppcm des périodes)

  5. #4
    vuibert

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    Citation Envoyé par olle
    toute composée de fonctions périodiques est périodique (ppcm des périodes)
    Il faut quand meme que les periodes admettent un ppcm, ie il faut qu'elles soit rationellement liees. Par exemple, sin(x) + sin(racine(2) x) n'est probablement pas periodique.

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    Ah bon, donc si je reprend l'exemple ci dessus :

    cos(x) + sin (x) -> périodique
    cos(x) sin(x) -> périodique

    et tout les 3 dernières ne le sont pas ?

    tu poses f(x)=f(x+T) et tu essaies de trouver T....
    Je ne comprend pas bien comment , cela me donne par exemple pour la première

    f(x + T) = cos(x + T) + sin(x + T)

    ?

    Merci

    Zazeglu

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite43219988

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    f(x + T) = cos(x + T) + sin(x + T)
    cos(x+2*k*pi)=cosx
    sin(x+2*k*pi)=sinx
    Donc f(x+2*k*pi)=f(x)

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  10. #7
    olle

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    si t'as vraiment envie de t'amuser :

    f(x + T) = cos(x + T) + sin(x + T)
    = cos(x)cos(T)-sin(x)sin(T) + sin(x)cos(T)+cos(x)sin(T)
    = cos(x)(cos(T)+sin(T)) + sin(x)(cos(T)-sin(T))
    = cos(x) + sin(x)

    ssi

    cos(T)+sin(T) = 1
    cos(T)-sin(T) = 1

    ou

    2*cos(T) = 2
    2*sin(T) = 0

    ou

    cos(T) = 1
    sin(T) = 0

    soit T = k*2pi

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    Il n'y a pas de recette miracle.
    Exemple : la fonction 4*(cos(x))^3 - 3*cos(x)
    Elle paraît avoir gentiment la période 2 pi mais en fait, c'est le développement de cos(3x) et la période est 2 pi / 3 !
    Il faut donc regarder de près !

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    oui je voit en fait il faut réfléchire, mais il y a certains cas asser compliqué.

    Comment feriez vous par exemple pour f(x) = cos(x)sin(x) et g(x) = sin(3x) = tg (2x) ?
    J'ai essayé en distribuant le cosinus et le sinus pour f(x) et je suis tombé sur ça :

    cos(x)sin(x)*[cos²(t) - sin²(t)] + cos(t)sin(t)[-sin²(x) + cos²(x)]



    Merci

    Zazeglu

  13. #10
    olle

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    f(x) = cos(x)sin(x)
    f(x+T) = cos(x+T)sin(x+T) = [cos(x)cos(T)-sin(x)sin(T)]*[sin(x)cos(T)+cos(x)sin(T)]
    = cos(x)sin(x)cos²(T)+cos²(x)cos (T)sin(T)-sin²(x)sin(T)cos(T)-sin(x)cos(x)sin²(T)
    = sin(x)cos(x)*(cos²(T)-sin²(T))+(cos(T)sin(T))(cos²(x )-sin²(x))
    = sin(x)cos(x)

    ssi

    1) cos²(T)-sin²(T) = 1 ou 1-2sin²(T) = 1 ou sin²(T) = 0 ou sin(T) = 0 ou T = k*2pi
    2) cos(T)sin(T) = 0 ou 1/2 sin(2T) = 0 ou 2T = k*2pi ou T = k*pi

    on combine les 2 conditions pour obtenir T = k*2pi

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    ah ben oui tient, suffisait de poser que l'un soit = à 0
    Mais, pourquoi à tu pris T = 2pi plutôt que pi ?

    Merci

    Zazeglu

  15. #12
    olle

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    les 2 conditions sont nécessaires en même temps, donc il faut les combiner entre elles afin d'en obtenir une unique qui satisfera automatiquement les 2 autres.

    ici, pour être multiple de pi et de 2pi en même temps, il faut être multiple de 2pi.

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Période de composées de fonctions périodiques

    ok merci

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