théorème de Steinitz: preuve d'Artin

[invite387b90a8]

J'ai quelques questions à propos de la preuve de l'existence d'une cloture algébrique pour un corps commutatif; je rappelle les grandes lignes de la preuve d'Artin:
1/ K désignant le corps de départ, on associe à chaque f non constant de K[X] une indéterminée Xf. S désignant l'ensemble de ces indéterminées, on forme l'anneau
K[S].
2/ Puis dans cet anneau, on considère l'idéal A formé par les f(Xf). On commence par montrer que l'unité 1 de K n'appartient pas à A, ce qui prouve que l'inclusion dans K[S] est stricte. Via le lemme de Zorn, on peut alors dire qu'il existe un idéal maximal M de K[S] contenant A. Alors on montre que K[S]/M est une extension de K, et si on note s la surjection canonique de K[S] sur K[S]/M, on vérifie que s(Xf) est une racine de f dans K[S]/M.
3/ On considère alors
E1 = K({s(Xf) /f polynome non constant de K (X]})
qui est une extension de K dans la quelle tout polynôme non constant de K[X] a au moins une racine;

Je n'écris pas la suite, car mes questions portent sur ce qui précède:

a/ Pourquoi à la fin de l'étape 2/ ne s'arrête -t-on pas? Je crois que c'est parce le corps K[S]/M n'est pas nécessairement une extension algébrique de K. D'ailleurs c'en est une ou pas?

b/ Donc la preuve se poursuit en fabriquant E1 qui est déclarée algébrique sur K. Mais pourquoi? Il me semble que E1 n'est pas de degré fini sur K, et le fait que tous les s(Xf) soient algébriques sur K ne suffit pas pour dire que E1 est algébrique sur K je crois.

c/ En quoi la maximalité de M dans A prouve-t-elle que
K[S]/M est un corps? Là ça doit être classique je pense.

Merci d'avance, et salutations à Ksilver (et à tout le monde tant qu'à faire).
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[invite387b90a8]

Ah oui j'oubliais: où intervient la commutativité de K?

[invite4ef352d8]

Salut !

a) on pourait : meme si ce n'etait pas algébrique, il est vrai que c'est un corps et tous polynome de K[X] as une racine dans K[S]/M, donc en prenant l'ensemble des élements algébrique de K[S]/M on trouve une cloture algébrique de K... (le fait qu'on obtiens ainsi une cloture algébrique et un exercice classique dont tu as peut-etre déja entendu parler) mais j'ai l'impression que c'est en gros ce qu'on fait dans la suite

b) en effet E1 n'est pas de degrée fini (heuresement parceque c'est sensé etre une cloture algébrique ^^ ) mais un coprs engendré par des elements algébrique est algébrique : ca vient du fait que a et b sont algébrique si et seulement si k[a] est de dimension fini :
donc si a et b sont algébrique, b est encore algébrique sur k[a] donc k[a,b] est de dimension fini sur k[a] donc de dimension fini sur k. du coup tous les éléments de k[a,b] sont algébrique : en particulier a+b, ab etc... du coup l'ensemble des elements algébrique d'un sur corps forme un corps, et si un corps est engendré par des élements algébrique est algébrique.


c) en effet : si B est un anneau et M un ideal de B, M est maximal dans B si est seulement si B/M est un corps (exercice facile) (NB : M n'est pas "maximal dans A", mais maximal contenant A, le fait que c'est un corps n'as rien à voir avec A)

[invite4ef352d8]

La comutativité sert... un peu partous...

le fait qu'une somme d'element algébrique est algébrique utilise la comutativité, et puis tu sais sur un corps non comutatif, les polynomes... ca marche mal (il peuvent avoir beaucoup plus de racines que leur degrée, la factorisation n'est pas unique... et on fais pas trop de théorie de galois dessus ^^ )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite387b90a8]

Merci Ksilver!

Entre temps je m'étais dit la chose suivante: tout élément de K[S]/M est image par la surjection canonique s d'un élément P de K[S], et P est un polynôme à plusieurs variables. Ces variables Xf étant en nombre fini, on peut les numéroter Xf_i. En appliquant alors la surjection s, notre élément se trouve être un polynôme à plusieurs variables en les s(Xf_i), avec des coefficients appartenant à s(K) qui est isomorphe à K. Mon élément de départ de K[S]/M est donc une somme finie d'éléments tous algébriques sur K, et est donc algébrique sur K. Ouf!
C'est, il me semble, ce que tu as voulu me dire. Enfin je vais pouvoir passer à autre chose!

Quant à la démonstaration dont tu parles pour construire une extension de K dans la quelle tout polynôme non constant a au moins une racine, je m'y serais pris de la façon suivante: je prends un élément de K[X], disons f1, et je lui trouve un corps de rupture
K1. Ensuite je prends f2 dans K[X] et je lui trouve un corps de rupture sur K1. Ainsi de suite. Je considère alors la réunion de tous ces corps de rupture, je prouve que c'est une extension de K,etc. Seulement voilà: cette idée présuppose que l'on puisse numéroter les éléments de K[X], ce qui n'est pas toujours possible (enfin je le crois). Peut être est-ce pour contourner cette difficulté que l'on fait appel au lemme de Zorn, mais je ne vois pas bien le rapport en fait.

[invite387b90a8]

Euh...je viens de me relire et me rendre compte que je suis en train d'affirmer que K[S]/M est algébrique sur K, et contient une racine de tous les polynomes non constants de K[X], ce qui ferait de K[S]/M une cloture algébrique de K, non? Il doit y avoir une erreur dans mon raisonnement, puisque la vraie preuve ne s'arrête pas là. Je retourne réfléchir!

[invite387b90a8]

Décidément je commence à m'embrouiller sérieux: je commence à me demander en quoi E1 et K[S]/M sont différents?

[invite4ef352d8]

la deuxième démonstration que tu propose existe en effet, mais il y a beaucoup de complication :

le problème c'est qu'on ne peut pas numéroter les polynomes de K[X] : ceci n'est possible que si K est dénombrable ! mais on peut en s'en sortir en les numérotant par des ordinaux

l'autre idée est plutot d'utiliser le lemme de Zorn pour construire une extension algébrique maximal : une telle extension sera automatiquement algébriquement close.

le problème c'est que "l'ensemble des extensions algébriques de K" (sur lequel on voudrait appliquer le lemme de zorn) est bien inductif... mais n'est pas un ensemble. du coup on est obligé de faire quelque contorsion pour que ca marche.... et j'avoue ne pas me souvenir de comment on fais pour éviter ce problème ^^ (j'imagine qu'il faut soit introduire un univers, soit un "sous ensemble" de l'ensemble des extensions algébriques qui soit assez petit pour etre un ensemble, mais assez gros pour que toute extension algébrique de K s'injecte dans une extension de ce "sous ensemble")

[invite4ef352d8]

je commence à me demander en quoi E1 et K[S]/M sont différents? >>> oui c'est ce qui me perturbe depuis le début. je comprend pas non plus la différence ^^ je pense qu'il n'y en pas et que l'auteur ce complique un peu la vie.

[invite387b90a8]

ça me rassure de pas être le seul. En tous cas ça fait trop longtemps (plus de 24H) que je m'énerve après cette démo, j'abandonne et je vais en chercher une autre ailleurs, ça commence à me gonfler. T'achètes un bouquin censé être une "référence", et l'auteur est pas foutu d'être clair! Moi je m'ne tiendrais à l'étape 2 et je considère que c'est fini, jusqu'à ce qu'on me contredise!

Merci pour ta participation instructive Ksilver, je vais continuer à lire ce bouquin en passant aux extensions séparables , normales et à la correspondance de Galois, ce qui est quand même l'objectif!