Bonjour à tous,
J'ai lu dans un cours sur les espaces vectoriels, que pour tout espace vectoriel, l'existence d'au moins une base était logiquement équivalente à l'axiome du choix. Néanmoins il n'est rien dit de plus, donc j'aimerais avoir quelques détails supplémentaires, n'étant pas familiarisé avec cet axiome.
Quelqu'un aurait-il un lien intéressant ou bien pourrait-il proposer une explication ?
Merci d'avance,
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour,Envoyé par Phys2
C'est assez mal dit et susceptible d'interprétations fausses, certains espace vectoriels, même de dimension infinie peuvent posséder une base (que l'on peut décrire), sans avoir besoin de l'axiome du choix.
Une meilleure formulation serait :
La proposition "L'existence d'au moins une base pour tous les espaces vectoriels" est équivalente à l'axiome du choix.
Si vous voulez des détails sur l'axiome du choix, n'hésitez pas à poster vos questions.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La formulation exacte était : "L'existence, pour tout espace vectoriel (non nécessairement de dimension finie) d'au moins une base est logiquement équivalente à l'axiome du choix". Mais dit ainsi, cela ne signifie pas que la base est la même pour tous les espaces vectorielles ?C'est assez mal dit et susceptible d'interprétations fausses, certains espace vectoriels, même de dimension infinie peuvent posséder une base (que l'on peut décrire), sans avoir besoin de l'axiome du choix.
Une meilleure formulation serait :
La proposition "L'existence d'au moins une base pour tous les espaces vectoriels" est équivalente à l'axiome du choix.
Sinon, j'ai trouvé ce document : Axiome du choix et conséquences ; à la fin du document, on trouve une démonstration de l'implication de l'existence d'une base par l'axiome du choix à partir du théorème de Zorn. Je n'ai cependant pas très bien compris comment il était montré que l'ensemble des parties libres était inductif.
De plus, de manière générale, ne faut-il pas justifier l'existence d'un ensemble ? Par exemple, l'ensemble de tous les ensembles n'existent pas, donc pourquoi l'ensemble des parties libres d'un espace vectorielle existerait-il ?
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Bonjour,
D'après les axiomes de la théorie des ensembles, pour A un ensemble:
- l'ensemble des parties de A est un ensemble, (1)
- la réunion des éléments de A est un ensemble, (2)
- si P est une propriété, les éléments de A possédant la propriété P, est un ensemble, (3)
et il y a peut-être d'autres axiomes, je ne me souviens plus.
Ici, soit E l'espace vectoriel, l'ensemble F des parties de E est un ensemble.
(1).Donc, par (3), les sous-ensembles de E libres, forment un ensemble.
Cela me convient mieux (même mieux que la mienne).
Non, le langage naturel est plus laxiste que le langage formel, la bonne proposition "formalisée" serait :
"Pour tout" X un Espace vectoriel, "Il existe" B une base de X
La démonstration s'appuie sur la définition des bases des ev de dimension infinie : chaque vecteur est une combinaison linéaire d'un nombre fini des éléments de la base, donc toutes les combinaisons linéaires de l'union appartient à une des partie, ce qui suffit à la démontration.
Excellente question !
Le texte du pdf n'est pas très clair (il y a toujours le risque de non-dits dans la théorie des ensembles). Quand l'auteur écrit "L'ensemble des parties libres", il faut comprendre le mot "ensemble" au sens du modèle dans lequel on travaille et non comme l'ensemble (au sens naïf) de toutes (au sens naïf) les parties libres. Avec l'axiome de l'ensemble des parties, on sait que l'ensemble des parties existe, et par le schéma de compréhension on sait que l'ensemble des parties qui sont libres existe (je peux détailler si nécessaire).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
D'accord, merci
J'en profite pour demander si quelqu'un connaît un bon cours de théorie des ensembles.
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Le Krivine Edition Cassini.D'accord, merci
J'en profite pour demander si quelqu'un connaît un bon cours de théorie des ensembles.
Sinon sur le net il y a pas mal de textes tout à fait corrects (recherchez "Set theory" en pdf), en particulier les textes de Dehornoy (13 ou 14 chapitres).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci, je vais regarder tout ça.
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Bonjour à tous : si on a l'axiome du choix alors soit un espace vectoriel E et G l'ensemble des familles libres de E.
Je prends pour relation d'ordre sur G l'inclusion.
Si A est une partie bien ordonnées de G, est ce que la familleest une famille libre je vous prie?
Si c'est le cas alors comme on a l'axiome du choix par le lemme de Zorn on aura montrer que G a un éléments maximum qui on montrer est générateur donc une base.
Merci d'avance et bonne après midi.
Parce qu’il est défini comme un ensemble de parties:
Axiome de l'ensemble des parties.
Axiome d'extensionnalité.
Bonjour,
Je ne vois pas à quoi sert l'axiome d'extensionalité ici, par contre je ne vois pas comment se passer de du schéma de compréhension (ou de remplacement) cf. message #5
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Raisonnement par l'absurde .Bonjour à tous : si on a l'axiome du choix alors soit un espace vectoriel E et G l'ensemble des familles libres de E.
Je prends pour relation d'ordre sur G l'inclusion.
Si A est une partie bien ordonnées de G, est ce que la famille
Effectivement je m'ai gouré.
