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Calculer la base d'un sous-espace vectoriel



  1. #1
    monocolor

    Smile Calculer la base d'un sous-espace vectoriel


    ------

    Bonjour à toute l'équipe du forum

    j'ai un exercice d'algébre à faire et j'ai besoin de vos lumiéres :-p
    j'ai commencé à le faire, mais j'ai quelques questions à vous poser.

    Nous avons un s.e.v tel que S= {u = (x, y, z) € R^3 tel que x - 3y + z = 0}

    Il faut trouver une base et la dimension de ce s.e.v !
    J'ai commencé à le faire, mais j'ai peur de démontrer qqchose alors qu'il n y'a pas besoin de le faire.

    x - 3 y + z = 0 donc x = 3y - z
    donc u = (3y - z , y, z)

    Nous obtenons donc 2 vecteurs (3, 1, 0) et (-1, 0, 1)

    Pour que ces deux vecteurs soient une base, ils faut qu'ils forment une famille libre et une famille génératrice.

    1] Dois-je démontrer quil s'agit d'une famille libre/génératrice ?
    Ou la méthode permet de dire tout de suite que c'est libre et gén. ?
    2] Pour la dimension, je pencherai pour 2 car il y a 2 vecteurs...

    thanks ! bonne soirée à toute l'équipe 8)

    -----

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  3. #2
    Le lyceen59155

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Ton espace est deja engendré par ces deux vecteurs, il te suffit de justifier qu'elle est libre ce qui est immediat.

  4. #3
    monocolor

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Merci de m'avoir répondu.

    Donc si j'écris ceci, c'est juste ?

    x - 3 y + z = 0 donc x = 3y - z
    donc u = (3y - z , y, z)

    Nous obtenons donc 2 vecteurs (3, 1, 0) et (-1, 0, 1)
    Ce s.e.v est donc engendré par ces deux vecteurs.

    Ainsi, {u1,u2} est une base de S
    avec u1=(3,1,0) et u2=(-1,0,1)

  5. #4
    citron_21

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Salut,
    pour ta dimension, elle est bien de 2, mais non pas parce qu'il y a 2 vecteurs, mais parce qu'il y a 2 vecteurs linéairement indépendants faisant partie de ta famille génératrice...
    Ce qui est évident ici (car il n'existe aucun k, tq u1=k.u2)
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

  6. #5
    monocolor

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Citron_21 : merci de ta réponse.

    Vous êtes supers !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    monocolor

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Désolé de vous re-déranger.

    J'ai parlé avec un ami sur MSN.
    On a comparé nos réponses, tout est OK.

    Sauf qu'il m'assure qu'il faut démontrer le fait que la famille soit libre et génératrice.
    J'ai essayé de le convaincre, mais il me dit : "malgré que les deux vecteurs trouvés soit une famille génératrice, cela ne montre pas que la famille est libre".

    en résumé.
    MOI = pas de démonstration
    AMI = démontrer que la famille est libre


    Qui a raison ? Merci d'avance

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  10. #7
    citron_21

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    en réalité, ce que tu as fait auparavant (calculer les 2 vecteurs formant une partie génératrice) ne te donne qu'une famille génératrice. C'est-à-dire, une famille de vecteurs (u1,u2,...,up) tels que chaque vecteur de E puisse s'écrire comme combinaison linéaire de ces vecteurs.
    Or, pour que cette famille soit une base, il faut que ces vecteurs soient linéairement indépendants les uns des autres. Car un vecteur de base ne peut s'exprimer en fonction des autres vecteurs de la base.
    Donc, il faut nécessairement montrer que ta famille est libre pour avoir une base. Par exemple, si tu a 3 vecteurs dans ta famille génératrice, et que 2 d'entre eux sont liés (u1=k.u2), alors ta base ne contient que 2 vecteurs linéairement indépendants (dimE=2).

    Tu vois ?
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

  11. #8
    Le lyceen59155

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Base=famille libre et génératrice par def.
    De plus famille generatrice n'entraine pas famille libre sinon il n'existerait que des espaces de dim finie.

  12. #9
    monocolor

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    OK, je comprends.

    merci encore de votre générosité à tous les deux.

    Je pense pouvoir m'en sortir pour les autres exercices...........
    ......... du moins,je l'espère !


    Bonsoir à vous deux !

  13. #10
    GogetaSS5

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Certe mais la méthode qu'il utilise donne toujours une base directement, car si tu remplace le maximum de variable par une expression en fonction des autres, tu ne peux pas trouver de vecteur lié.

  14. #11
    angetato

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    salut a tous moi aussi j'ai un petit probleme je veut determiner une base de l'espace vectoriel suivant comment je fait?
    E={ (x,y,z)€ R3 \ 3x-2y+2=0 }

  15. #12
    angetato

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    je m'excuse de vous avoir derranger ce n'est pas un espace vectoriel donc c'est impossible d'en determiner une base

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  17. #13
    ericcc

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Ah ? Pourquoi n'est ce pas un sous espace vectoriel de IR3 ?

  18. #14
    sylvainc2

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Il manque le "z" à "2". Si ce n'est pas une erreur de frappe, ca veut dire que l'équation définit un plan qui ne passe pas par l'origine, donc qui ne contient pas le vecteur nul. Ca peut pas être un ev.

  19. #15
    ericcc

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Je pense que c'est une erreur de frappe !

  20. #16
    angetato

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    ouais t'a raison c'etait une erreur de frappe!! merci

  21. #17
    hichamovitch

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    bonjour .svp g besoin daide merci

  22. #18
    hichamovitch

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    bnjour forum .g besoin daide pour cet exercice merci de me repndre le plutot pocible mercci

    exercice ;dans R^4 ON CONSIDERE LES VECTEURS SUIVANTS :u1=(1,2,2,1);u2=(5,6,6,5);u3= (-1,-3,4,0) et
    u4=(0,4,-3,-1) svp avec + de detail merssi car je comprens rien

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  24. #19
    hichamovitch

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    trouver une base du sous espace qu'ils engendrent


    merssi se me repondre avec + de detail

  25. #20
    h-med

    Unhappy Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    désolé les gars j'ai un problemavec les equation qui ont 2 inconnus comme cela elle m'a rendu fou
    F=(x,y)£R3§x+y-z=0:montrer que f et un sous espace vectoriel
    j'ai essayé de faire comme ça f(0)=(0,0) alors 0+0-z=0 on constate z=0 alors x+y-z=0+0-0=0
    f(0R3)=(0R3)
    qui peut corrigé

  26. #21
    gg0

    Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    Bonjour.

    Il faudrait peut-être commencer par savoir de quoi tu parles ! Ta définition de F est du n'importe quoi. Si tu n'es même pas capable de comprendre les notations, de les copier proprement (passons sur le £ à la place de ), il est inutile qu'on te dise quoi que ce soit : Même un corrigé, tu le copierais de travers.

    Donc reprends ton cours (pour savoir), puis ton sujet d'exercice, crée un nouveau sujet (par politesse on ne pirate pas les sujets des autres), et viens dire ce que tu as fait.


    Cordialement.

  27. #22
    h-med

    Unhappy Re : Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

    j'ai besoin d'explication c'est tout car je suis habitué a R3 vers R3 je jure que c'est tous ce qu'on a fait dans le cours et dans l'exam cet surprise
    s'il vous plait j'ai vraiment besoin d'aide dsl pour vous deranger

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