Calculer la base d'un sous-espace vectoriel

[invitec6d2f5a6]

Bonjour à toute l'équipe du forum

j'ai un exercice d'algébre à faire et j'ai besoin de vos lumiéres :-p
j'ai commencé à le faire, mais j'ai quelques questions à vous poser.

Nous avons un s.e.v tel que S= {u = (x, y, z) € R^3 tel que x - 3y + z = 0}

Il faut trouver une base et la dimension de ce s.e.v !
J'ai commencé à le faire, mais j'ai peur de démontrer qqchose alors qu'il n y'a pas besoin de le faire.

x - 3 y + z = 0 donc x = 3y - z
donc u = (3y - z , y, z)

Nous obtenons donc 2 vecteurs (3, 1, 0) et (-1, 0, 1)

Pour que ces deux vecteurs soient une base, ils faut qu'ils forment une famille libre et une famille génératrice.

1] Dois-je démontrer quil s'agit d'une famille libre/génératrice ?
Ou la méthode permet de dire tout de suite que c'est libre et gén. ?
2] Pour la dimension, je pencherai pour 2 car il y a 2 vecteurs...

thanks ! bonne soirée à toute l'équipe 8)
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[invited776e97c]

Ton espace est deja engendré par ces deux vecteurs, il te suffit de justifier qu'elle est libre ce qui est immediat.

[invitec6d2f5a6]

Merci de m'avoir répondu.

Donc si j'écris ceci, c'est juste ?

x - 3 y + z = 0 donc x = 3y - z
donc u = (3y - z , y, z)

Nous obtenons donc 2 vecteurs (3, 1, 0) et (-1, 0, 1)
Ce s.e.v est donc engendré par ces deux vecteurs.

Ainsi, {u1,u2} est une base de S
avec u1=(3,1,0) et u2=(-1,0,1)

[invite171486f9]

Salut,
pour ta dimension, elle est bien de 2, mais non pas parce qu'il y a 2 vecteurs, mais parce qu'il y a 2 vecteurs linéairement indépendants faisant partie de ta famille génératrice...
Ce qui est évident ici (car il n'existe aucun k, tq u₁=k.u₂)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec6d2f5a6]

Citron_21 : merci de ta réponse.

Vous êtes supers !

[invitec6d2f5a6]

Désolé de vous re-déranger.

J'ai parlé avec un ami sur MSN.
On a comparé nos réponses, tout est OK.

Sauf qu'il m'assure qu'il faut démontrer le fait que la famille soit libre et génératrice.
J'ai essayé de le convaincre, mais il me dit : "malgré que les deux vecteurs trouvés soit une famille génératrice, cela ne montre pas que la famille est libre".

en résumé.
MOI = pas de démonstration
AMI = démontrer que la famille est libre


Qui a raison ? Merci d'avance

[invite171486f9]

en réalité, ce que tu as fait auparavant (calculer les 2 vecteurs formant une partie génératrice) ne te donne qu'une famille génératrice. C'est-à-dire, une famille de vecteurs (u1,u2,...,up) tels que chaque vecteur de E puisse s'écrire comme combinaison linéaire de ces vecteurs.
Or, pour que cette famille soit une base, il faut que ces vecteurs soient linéairement indépendants les uns des autres. Car un vecteur de base ne peut s'exprimer en fonction des autres vecteurs de la base.
Donc, il faut nécessairement montrer que ta famille est libre pour avoir une base. Par exemple, si tu a 3 vecteurs dans ta famille génératrice, et que 2 d'entre eux sont liés (u1=k.u2), alors ta base ne contient que 2 vecteurs linéairement indépendants (dimE=2).

Tu vois ?

[invited776e97c]

Base=famille libre et génératrice par def.
De plus famille generatrice n'entraine pas famille libre sinon il n'existerait que des espaces de dim finie.

[invitec6d2f5a6]

OK, je comprends.

merci encore de votre générosité à tous les deux.

Je pense pouvoir m'en sortir pour les autres exercices...........
......... du moins,je l'espère !


Bonsoir à vous deux !

[invite2e5fadca]

Certe mais la méthode qu'il utilise donne toujours une base directement, car si tu remplace le maximum de variable par une expression en fonction des autres, tu ne peux pas trouver de vecteur lié.

[invite04239ddc]

salut a tous moi aussi j'ai un petit probleme je veut determiner une base de l'espace vectoriel suivant comment je fait?
E={ (x,y,z)€ R3 \ 3x-2y+2=0 }

[invite04239ddc]

je m'excuse de vous avoir derranger ce n'est pas un espace vectoriel donc c'est impossible d'en determiner une base

[inviteaf1870ed]

Ah ? Pourquoi n'est ce pas un sous espace vectoriel de IR3 ?

[sylvainc2]

Il manque le "z" à "2". Si ce n'est pas une erreur de frappe, ca veut dire que l'équation définit un plan qui ne passe pas par l'origine, donc qui ne contient pas le vecteur nul. Ca peut pas être un ev.

[inviteaf1870ed]

Je pense que c'est une erreur de frappe !

[invite04239ddc]

ouais t'a raison c'etait une erreur de frappe!! merci

[invitee4e47b3c]

bonjour .svp g besoin daide merci

[invitee4e47b3c]

bnjour forum .g besoin daide pour cet exercice merci de me repndre le plutot pocible mercci

exercice ;dans R^4 ON CONSIDERE LES VECTEURS SUIVANTS :u1=(1,2,2,1);u2=(5,6,6,5);u3= (-1,-3,4,0) et
u4=(0,4,-3,-1) svp avec + de detail merssi car je comprens rien

[invitee4e47b3c]

trouver une base du sous espace qu'ils engendrent


merssi se me repondre avec + de detail

[invite1455cc53]

désolé les gars j'ai un problemavec les equation qui ont 2 inconnus comme cela elle m'a rendu fou
F=(x,y)£R3§x+y-z=0:montrer que f et un sous espace vectoriel
j'ai essayé de faire comme ça f(0)=(0,0) alors 0+0-z=0 on constate z=0 alors x+y-z=0+0-0=0
f(0R3)=(0R3)
qui peut corrigé

[gg0]

Bonjour.

Il faudrait peut-être commencer par savoir de quoi tu parles ! Ta définition de F est du n'importe quoi. Si tu n'es même pas capable de comprendre les notations, de les copier proprement (passons sur le £ à la place de ), il est inutile qu'on te dise quoi que ce soit : Même un corrigé, tu le copierais de travers.

Donc reprends ton cours (pour savoir), puis ton sujet d'exercice, crée un nouveau sujet (par politesse on ne pirate pas les sujets des autres), et viens dire ce que tu as fait.


Cordialement.

[invite1455cc53]

j'ai besoin d'explication c'est tout car je suis habitué a R3 vers R3 je jure que c'est tous ce qu'on a fait dans le cours et dans l'exam cet surprise
s'il vous plait j'ai vraiment besoin d'aide dsl pour vous deranger