convergence faible

invite5e53c62e · 09/06/2015, 17h21

bonjour
j'ai f dans $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un ouvert regulier de $\text{[math]}$ et je veux demontrer que $\text{[math]}$ converge faiblement vers 0 dans $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ (p>1)
Toute aide sera la bienvenue

inviteea028771 · 09/06/2015, 19h54

Quel espace notes tu $\text{[math]}$ ?

invite5e53c62e · 09/06/2015, 20h00

desolé
l'espace de Sobolev $\text{[math]}$

invite5e53c62e · 12/06/2015, 12h23

Salut Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Je sais demontrer que $\text{[math]}$ converge fortement dans $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$
car $\text{[math]}$

mais je bloque pour la convergence faible de $\text{[math]}$
je sais que $\text{[math]}$ est bornée car $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$
pour $\text{[math]}$ plus grand que 1
donc on peut extraire une sous suite qui converge faiblement

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invite5e53c62e · 12/06/2015, 12h35

Une question

Si $\text{[math]}$ tend vers 0 en decroissant peut on dire que $\text{[math]}$ tend vers 0 avec f une fonction L^1

inviteea028771 · 13/06/2015, 02h56

Envoyé par maximeciel

Une question

Si $\text{[math]}$ tend vers 0 en decroissant peut on dire que $\text{[math]}$ tend vers 0 avec f une fonction L^1

Oui, c'est une application directe du théorème de convergence dominée

invite5e53c62e · 13/06/2015, 22h55

Bonjour
Tu peux m'expliquer d'avantage
Voila exactement le problème j'ai $\text{[math]}$ et je veux démonter que la limite quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tend vers 0 avec $\text{[math]}$ un ouvert borné regulier de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

invite5e53c62e · 13/06/2015, 23h54

bonjour

Si on ecrit que $\text{[math]}$
Comment tu vas appliquer le théorème de convergence dominé

inviteea028771 · 14/06/2015, 00h20

Envoyé par maximeciel

bonjour

Si on ecrit que $\text{[math]}$
Comment tu vas appliquer le théorème de convergence dominé

Il est clair que $\text{[math]}$ tend vers 0 presque partout. En effet, $\text{[math]}$ étant borné, quelque soit $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que quelque soit $\text{[math]}$ .

Et on a trivialement que $\text{[math]}$ est dominée par $\text{[math]}$ qui est intégrable, ce qui nous permet d'appliquer le théorème de convergence dominé

invite5e53c62e · 14/06/2015, 00h28

bonjour

Mais f est seulement $\text{[math]}$ et pas $\text{[math]}$
Sinon tu démontres que ce resultat est vraie si f dans $\text{[math]}$ et meme si f n'appratient pas à $\text{[math]}$

inviteea028771 · 14/06/2015, 00h45

Envoyé par maximeciel

bonjour

Mais f est seulement $\text{[math]}$ et pas $\text{[math]}$
Sinon tu démontres que ce resultat est vraie si f dans $\text{[math]}$ et meme si f n'appratient pas à $\text{[math]}$

Il faut bien voir qu'il est sous entendu que :
- soit l'ouvert $\text{[math]}$ contient 0
- soit on prolonge $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ en dehors de $\text{[math]}$

Sinon, ça pose des problèmes de définition. Et si jamais tu sous entendais "la restriction de f à $\text{[math]}$ est dans $\text{[math]}$ , mais pas nécessairement la fonction f définie sur $\text{[math]}$ ", alors il est clair que ta propriété est fausse.

Prend $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Alors $\text{[math]}$ et ceci ne converge pas vers 0

invite5e53c62e · 14/06/2015, 01h05

Bonjour
Merci pour votre intérêt et j'aime bien savoir comment on démontre ce résultat lorsque $\text{[math]}$ contient 0 avec f non nécessairement intégrale sur $\text{[math]}$

inviteea028771 · 14/06/2015, 01h24

Envoyé par maximeciel

Bonjour
Merci pour votre intérêt et j'aime bien savoir comment on démontre ce résultat lorsque $\text{[math]}$ contient 0 avec f non nécessairement intégrale sur $\text{[math]}$

C'est simple : il existe une boule ouverte $\text{[math]}$ centrée en 0, contenue dans $\text{[math]}$ , et qui contient $\text{[math]}$ à partir d'un certain rang.

A partir de là, on a pour $\text{[math]}$ assez grand :

$\text{[math]}$

Il est clair que :
- $\text{[math]}$ converge vers 0 presque partout
- $\text{[math]}$ est dominée par $\text{[math]}$ qui est intégrable sur $\text{[math]}$

invite5e53c62e · 14/06/2015, 01h47

Bonjour
Merci ce point est devenu clair mais je pense il faut remplacer dans l’égalité des deux intégrales l’égalité par une inégalité
mais si je reprend ton exemple $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et je prolonge f par 0 en dehors de [1,2]. dans ce cas on démontre deux resultats opposé!!

inviteea028771 · 14/06/2015, 01h55

Envoyé par maximeciel

Bonjour
Merci ce point est devenu clair mais je pense il faut remplacer dans l’égalité des deux intégrales l’égalité par une inégalité
mais si je reprend ton exemple $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et je prolonge f par 0 en dehors de [1,2]. dans ce cas on démontre deux resultats opposé!!

Il y a bien égalité pour $\text{[math]}$ assez grand

Et je ne vois pas ou tu vois deux résultats opposés, puisque pour $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$

En effet, pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

invite5e53c62e · 14/06/2015, 02h19

Bonjour

J'ai vu deux résultats opposés car j'ai considéré l’intégrale sans valeur absolue
Pour ma question initiale tout au début ; tu as des idées

invite5e53c62e · 14/06/2015, 02h40

Bonjour
dans l'exemple on a bien |f(x)|=f(x)
tu démontres que
$\text{[math]}$

et puis tu démontres que
$\text{[math]}$ quand lambda tend vers + l'infini

inviteea028771 · 14/06/2015, 02h59

Envoyé par maximeciel

Bonjour
dans l'exemple on a bien |f(x)|=f(x)
tu démontres que
$\text{[math]}$

et puis tu démontres que
$\text{[math]}$ quand lambda tend vers + l'infini

Dans le premier cas, la fonction vaut 1/x sur tout R, dans le second cas, 1/x sur [1,2] et 0 ailleurs : ce sont deux fonctions complétement différentes.

invite5e53c62e · 14/06/2015, 03h15

merci infiniment

inviteea028771 · 14/06/2015, 03h19

Pour la question initiale, c'est assez "vilain", puisque le dual de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ (j'ai du faire une petite recherche, je ne me rappellai plus de ce résultat ni de celui d'en dessous)

On a l'identification suivante :

$\text{[math]}$

Avec le produit de dualité pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Donc ici, cela revient à montrer que pour toute fonction $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , on a que

$\text{[math]}$

Or par Hölder,

$\text{[math]}$

Et

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Qui tend bien vers 0 (Sous reserve que je n'ai pas fait d'erreur de calcul, il se fait tard ^^)

invite5e53c62e · 14/06/2015, 13h10

Bonjour et merci beaucoup

invite5e53c62e · 14/06/2015, 13h27

Bonjour et merci beaucoup

convergence faible