convergence faible
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convergence faible



  1. #1
    maximeciel

    convergence faible


    ------

    bonjour
    j'ai f dans avec un ouvert regulier de et je veux demontrer que converge faiblement vers 0 dans avec (p>1)
    Toute aide sera la bienvenue

    -----

  2. #2
    Tryss

    Re : convergence faible

    Quel espace notes tu ?

  3. #3
    maximeciel

    Re : convergence faible

    desolé
    l'espace de Sobolev
    Dernière modification par maximeciel ; 09/06/2015 à 20h01.

  4. #4
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Salut Soit et et
    Je sais demontrer que converge fortement dans quand tend vers
    car

    mais je bloque pour la convergence faible de
    je sais que est bornée car car
    pour plus grand que 1
    donc on peut extraire une sous suite qui converge faiblement

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Une question

    Si tend vers 0 en decroissant peut on dire que tend vers 0 avec f une fonction L^1

  7. #6
    Tryss

    Re : convergence faible

    Citation Envoyé par maximeciel Voir le message
    Une question

    Si tend vers 0 en decroissant peut on dire que tend vers 0 avec f une fonction L^1
    Oui, c'est une application directe du théorème de convergence dominée

  8. #7
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Bonjour
    Tu peux m'expliquer d'avantage
    Voila exactement le problème j'ai et je veux démonter que la limite quand tend vers de tend vers 0 avec un ouvert borné regulier de et

  9. #8
    maximeciel

    Re : convergence faible

    bonjour

    Si on ecrit que
    Comment tu vas appliquer le théorème de convergence dominé

  10. #9
    Tryss

    Re : convergence faible

    Citation Envoyé par maximeciel Voir le message
    bonjour

    Si on ecrit que
    Comment tu vas appliquer le théorème de convergence dominé
    Il est clair que tend vers 0 presque partout. En effet, étant borné, quelque soit avec , il existe tel que quelque soit .

    Et on a trivialement que est dominée par qui est intégrable, ce qui nous permet d'appliquer le théorème de convergence dominé

  11. #10
    maximeciel

    Re : convergence faible

    bonjour

    Mais f est seulement et pas
    Sinon tu démontres que ce resultat est vraie si f dans et meme si f n'appratient pas à

  12. #11
    Tryss

    Re : convergence faible

    Citation Envoyé par maximeciel Voir le message
    bonjour

    Mais f est seulement et pas
    Sinon tu démontres que ce resultat est vraie si f dans et meme si f n'appratient pas à
    Il faut bien voir qu'il est sous entendu que :
    - soit l'ouvert contient 0
    - soit on prolonge par en dehors de

    Sinon, ça pose des problèmes de définition. Et si jamais tu sous entendais "la restriction de f à est dans , mais pas nécessairement la fonction f définie sur ", alors il est clair que ta propriété est fausse.

    Prend et

    Alors et ceci ne converge pas vers 0

  13. #12
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Bonjour
    Merci pour votre intérêt et j'aime bien savoir comment on démontre ce résultat lorsque contient 0 avec f non nécessairement intégrale sur

  14. #13
    Tryss

    Re : convergence faible

    Citation Envoyé par maximeciel Voir le message
    Bonjour
    Merci pour votre intérêt et j'aime bien savoir comment on démontre ce résultat lorsque contient 0 avec f non nécessairement intégrale sur
    C'est simple : il existe une boule ouverte centrée en 0, contenue dans , et qui contient à partir d'un certain rang.

    A partir de là, on a pour assez grand :



    Il est clair que :
    - converge vers 0 presque partout
    - est dominée par qui est intégrable sur

  15. #14
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Bonjour
    Merci ce point est devenu clair mais je pense il faut remplacer dans l’égalité des deux intégrales l’égalité par une inégalité
    mais si je reprend ton exemple et et je prolonge f par 0 en dehors de [1,2]. dans ce cas on démontre deux resultats opposé!!

  16. #15
    Tryss

    Re : convergence faible

    Citation Envoyé par maximeciel Voir le message
    Bonjour
    Merci ce point est devenu clair mais je pense il faut remplacer dans l’égalité des deux intégrales l’égalité par une inégalité
    mais si je reprend ton exemple et et je prolonge f par 0 en dehors de [1,2]. dans ce cas on démontre deux resultats opposé!!
    Il y a bien égalité pour assez grand


    Et je ne vois pas ou tu vois deux résultats opposés, puisque pour ,


    En effet, pour ,

  17. #16
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Bonjour

    J'ai vu deux résultats opposés car j'ai considéré l’intégrale sans valeur absolue
    Pour ma question initiale tout au début ; tu as des idées

  18. #17
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Bonjour
    dans l'exemple on a bien |f(x)|=f(x)
    tu démontres que


    et puis tu démontres que
    quand lambda tend vers + l'infini
    Dernière modification par maximeciel ; 14/06/2015 à 02h41.

  19. #18
    Tryss

    Re : convergence faible

    Citation Envoyé par maximeciel Voir le message
    Bonjour
    dans l'exemple on a bien |f(x)|=f(x)
    tu démontres que


    et puis tu démontres que
    quand lambda tend vers + l'infini
    Dans le premier cas, la fonction vaut 1/x sur tout R, dans le second cas, 1/x sur [1,2] et 0 ailleurs : ce sont deux fonctions complétement différentes.

  20. #19
    maximeciel

    Re : convergence faible

    merci infiniment

  21. #20
    Tryss

    Re : convergence faible

    Pour la question initiale, c'est assez "vilain", puisque le dual de est (j'ai du faire une petite recherche, je ne me rappellai plus de ce résultat ni de celui d'en dessous)

    On a l'identification suivante :



    Avec le produit de dualité pour et



    Donc ici, cela revient à montrer que pour toute fonction de , on a que



    Or par Hölder,



    Et









    Qui tend bien vers 0 (Sous reserve que je n'ai pas fait d'erreur de calcul, il se fait tard ^^)

  22. #21
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Bonjour et merci beaucoup
    Dernière modification par maximeciel ; 14/06/2015 à 13h13.

  23. #22
    maximeciel

    Re : convergence faible

    Bonjour et merci beaucoup

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