Convergence faible

[inviteae7fd42d]

Bonjour,

considerant une quantite residuelle ,

j'ai montre que



Est il alors correct d'ecrire que converge faiblement vers 0 dans (l'etoile dans la notation correspond a l'espace dual)..

Merci de tout element de reponse
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[sadben2004]

j'ai cru que c'etait [TEX]L^{\infinity}(0,T)[\tex]...

[Garf]

Je n'ai pas l'impression que ce soit suffisant ; rien ne porte sur les dérivées (faibles) des et des ... Il aurait plutôt fallu avoir quelque chose comme :





Auquel cas (sauf erreur de ma part) il suffit de ressortir la définition du crochet pour avoir le résultat. Cependant, avec des espaces fonctionnels aussi moches, je n'ai pas trop envie de chercher des contre-exemples maintenant...

[Garf]

Typiquement, en prenant et pour un fonction constante égale à , ta condition doit être vérifiée sans que l'on ait convergence faible dans cet espace bizarre.

Au passage, j'ai fait un coquille dans mon message précédent - oubli d'un et d'un .

Au passage aussi, je viens de me rendre compte que la question n'avait pas grand sens... Comment définis-tu la dérivabilité d'une application de (0,T) dans ? M'est avis qu'il ne faut considérer que les application continues...

[A voir en vidéo sur Futura]

[sadben2004]

Tu as raison Garf, il y a pas de Cinfini à valeurs dans H1.
D'ailleurs moi j'ai cru au debut qu'il s'agit de Linfini.

A moins qu'on veut dire que la fonction et toutes ses derivées par rapport au temps sont dans H1, mais j'ai jamais vu cette notation.

[inviteae7fd42d]

Merci pour ces premiers elements de reponse.
Ma notation n'est peut etre pas adequate. Ce que je veux dire par
c'est:

telle que

et


On definit donc pour u une derivee par rapport au temps:

et une derivee "spaciale":

Est ce qu'un tel espace a un sens?

Ou serait il plus juste de considerer et de montrer que



pour parler de convergence faible?

[KerLannais]

Bonjour,

Au risque de choquer certaines personnes, le calcul différentiel sur des fonctions à valeur dans un espace de Banach ça existe, on définit même des distributions à valeurs dans un Banach, on peut calculer l'intégrale de Lebesgue d'une fonction à valeurs Banch, et définir des espaces de Sobolev de fonctions à valeurs dans un banach, on peut par exemple définir l'espace:

par exemple. Cet espace est un peu difficile à imaginer certe (moi aussi au début j'avais du mal) mais ce sont bien des fonctions de dans qui sont .

Deuxième remarque, ne pas confondre le crochet de dualité et le produit scalaire par exemple dans , on a et pour et on peut prendre:

où est le produit scalaire et non pas . Bien entendu on peut aussi prendre le produit scalaire comme crochet de dualité mais pas les deux en même temps, il faut choisir. En fait il est bon de se creuser la tête sur cette question parce qu'au premier abord on trouve étrange que est isomorphe à son dual en tant qu'espace de Hilbert mais il est aussi strictement inclu dans qui s'injecte de façon non surjective dans son dual . En fait on a les injections continues suivantes:

et bien sûr on a pas égalité des ensembles.
Pour répondre à la question je pense que cela suffit à montrer la convergence faible étoile, encore faut-il avoir les idée clairs sur les espaces et les convergences qu'on manipule.

[sadben2004]

Des espaces Lp a valeurs dans H1,H-1 oui ça existe, et on les defini facilement. On peut egalement definir les fct C((0,T),H1).
On a par exemple que le dual de L2((),H1) est L2((),H-1)..etc

Mais H1((0,T),H1) je vois pas comment le définir, ni la norme de graphe associé ?!

Dans des énoncé de théorèmes on trouve des phrases comme : soit u dans L2((0,T),H1) tel que (du/dt) dans L2((0,T),H1) etc.. sans parlé de H1((0,T),H1).

[KerLannais]

Il y a un poly que je trouve très bien sur l'intégration et les sobolev à valeurs dans les banach

http://www-gm3.univ-mrs.fr/polys/gm3-02/gm3-02.pdf

sinon on peut trouver des renseignement sur internet sur la différentiabilité Fréchet et la différentiablilté Gateaux.

[sadben2004]

Merci pour le lien.