Support Compact et Convergence Faible

[invitede8302a1]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice... il est simple mais bon... je suis mauvais lol

Soit L2(R) (l'ensemble de classes des fonctions égales presque partout dont le module au carré est intégrable) muni du produit scalaire <f, g> = Intégrale de (f * conjugué(g)) sur R.
Soit f1 dans L2(R) telle que f1 est continue infiniment dérivable à support compact et de norme égale à 1.
On pose gn(x) = f1(x-n).

Voici mes questions :

1) Est-ce que le support de f1 est de la forme [a,b] ?

Il est évidemment inclu dans [a, b] pour un a, b dans R mais pourquoi ne serait-il pas égal ?
Comme f1 est continue, je ne vois pas de contre exemple.

2)Est-ce que gn est-elle à support compact ? Expliciter son support.

Je vois juste que si supp(f1) = [a, b] alors supp(gn) = [a-n, b+n] mais je n'arrive pas à répondre clairement à cette question.

3)Etudier la convergence faible de gn.

Pour cette question, comme f1 est à support compact, je pense que gn converge vers 0 faiblement... mais là aussi, je n'arrive pas à faire une démonstration propre.

Voilà, en vous remerciant par avance !!
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[invite57a1e779]

Je vois juste que si supp(f1) = [a, b] alors supp(gn) = [a-n, b+n]

Il me semble que si le support de est , celui de est , puisque ce support est défini par la condition .

Pour ta première question : si a pour support , alors a pour support , ce qui te donne un exemple de fonction de classe , à support compact qui n'est pas un intervalle, et de norme 1 dans .

2) Il faut comparer les supports de et de par translation.

3) prouver que converge faiblement vers 0 dans , c'est prouver que, pour tout , .
Commence déjà par effectuer le changement de variable dans l'intégrale.

[invitede8302a1]

Bonsoir God's Breath !!

Merci pr tes réponses.

Pour la 2) si on pose K = supp(f1) alors x appartient à supp(gn) ssi x-n appartient à K ssi il existe k dans K tel que x = n + k ssi x appartient à {n} + K qui est compact (somme de compacts en dimension finie est compact... je pense lol).
Est-ce juste ?

Pour la 3) j'obtiens Intégrale sur R de f(t+n)*f1(t)dt qui est égale à l'intégrale sur un compact K (qui contient le support de f1).
Par Cauchy-Schwartz, elle est inférieur ou égale à ||f1||*Racine de l'intégrale sur K du module de f(t+n) au carré.
Intuitivement, je vois que lorsque n part à l'infini, t +n n'appartient plus à K compact, mais il me manque un argument pour bien l'écrire mathématiquement.

Si tu peux m'éclairer !!

[invitede8302a1]

A moins qu'on soit obligé de considérer d'abord f continue infiniment dérivable à support compact pour utiliser la convergence dominée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Après l'utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwartz, il faut rechanger de variable : .
Pour la pratique du calcul, tu as intérêt à inclure ton compact dans un segment .
Tu alors la majoration :

et tu vois que ça tend vers 0, puisque tend vers l'infini.

[invitede8302a1]

Merci !!
Bonne fin de soirée