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Convergence faible et Fonctions Périodiques



  1. #1
    james_83

    Convergence faible et Fonctions Périodiques


    ------

    Rebonsoir

    J'ai un petit problème sur un exercice...
    On considère l'espace des fonctions mesurables f 1-Périodiques telles que l'intégrale de 0 à 1 du module au carré de f est finie.
    Soit la suite (fn) telle que fn(x) = f(nx).
    Question : si on suppose que fn converge faiblement alors quelle est sa limite faible ?

    J'ai pris comme fonction test, naturellement g=1.
    J'obtiens donc <fn, g> tend vers <f, g>....
    mais cela contredit une question précédente où l'on voit que la suite fn(x) = sin(nx/2pi) converge faiblement vers 0....et non vers sin(x/2pi).

    Si quelqu'un peut m'aider...
    Merci !!

    -----

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  4. #2
    God's Breath

    Re : Convergence faible et Fonctions Périodiques

    Soit une fonction-test continue ; comme est compact, elle est uniformément continue sur cet intervalle, donc pour tout , il existe un entier tel que, pour tout , .

    On suppose désormais que .

    Pour tout entier , je note , et j'ai : .

    Le changement de variable , et la périodicité de fournissent : , et de même : .

    En notant et , on a donc, pour tout :.

    En additionnant ces inégalités : et , on a donc, pour tout :.

    Or on a, avec les sommes de Riemann : .

    Tu en as assez pour prouver que .

    Tu peux ensuite montrer que le résultat est encore valable pour quelconque, et en conclure que la suite converge faiblement vers la constante .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #3
    james_83

    Re : Convergence faible et Fonctions Périodiques

    Merci beaucoup God's Breath (une fois encore lool).
    Mon erreur vient donc du fait que <f, g> peut s'écrire aussi <<f>, g>
    où <f> est l'intégrale de 0 à 1 de f, c'est bien ça ?

  6. #4
    God's Breath

    Re : Convergence faible et Fonctions Périodiques

    Tu sais que, si converge faiblement vers , alors, converge vers .

    Tu établis que, pour , converge vers . Mais l'égalité dans le seul cas ne suffit pas pour conclure à . Il te faudrait avoir l'égalité pour tout , ou au moins pour tout appartenant à un ensemble dense...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  8. #5
    james_83

    Re : Convergence faible et Fonctions Périodiques

    Ok, je pensais que pour g=1,
    si "<fn, g> tend vers <f,g>" alors "si fn converge faiblement, alors sa limite faible ne peut être que f ".
    Mais ce n'est pas toujours le cas comme le montre ta démonstration.
    Merci beaucoup.

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