Convergence faible et Fonctions Périodiques

**james_83** · 11/11/2008, 21h58

Rebonsoir

J'ai un petit problème sur un exercice...
On considère l'espace des fonctions mesurables f 1-Périodiques telles que l'intégrale de 0 à 1 du module au carré de f est finie.
Soit la suite (fn) telle que fn(x) = f(nx).
Question : si on suppose que fn converge faiblement alors quelle est sa limite faible ?

J'ai pris comme fonction test, naturellement g=1.
J'obtiens donc <fn, g> tend vers <f, g>....
mais cela contredit une question précédente où l'on voit que la suite fn(x) = sin(nx/2pi) converge faiblement vers 0....et non vers sin(x/2pi).

Si quelqu'un peut m'aider...
Merci !!

**God's Breath** · 11/11/2008, 22h37

Soit $\text{[math]}$ une fonction-test continue ; comme $\text{[math]}$ est compact, elle est uniformément continue sur cet intervalle, donc pour tout $\text{[math]}$ , il existe un entier $\text{[math]}$ tel que, pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

On suppose désormais que $\text{[math]}$ .

Pour tout entier $\text{[math]}$ , je note $\text{[math]}$ , et j'ai : $\text{[math]}$ .

Le changement de variable $\text{[math]}$ , et la périodicité de $\text{[math]}$ fournissent : $\text{[math]}$ , et de même : $\text{[math]}$ .

En notant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a donc, pour tout $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

En additionnant ces inégalités : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a donc, pour tout $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Or on a, avec les sommes de Riemann : $\text{[math]}$ .

Tu en as assez pour prouver que $\text{[math]}$ .

Tu peux ensuite montrer que le résultat est encore valable pour $\text{[math]}$ quelconque, et en conclure que la suite $\text{[math]}$ converge faiblement vers la constante $\text{[math]}$ .

**james_83** · 15/11/2008, 15h17

Merci beaucoup God's Breath (une fois encore lool).
Mon erreur vient donc du fait que <f, g> peut s'écrire aussi <<f>, g>
où <f> est l'intégrale de 0 à 1 de f, c'est bien ça ?

**God's Breath** · 15/11/2008, 15h27

Tu sais que, si $\text{[math]}$ converge faiblement vers $\text{[math]}$ , alors, $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Tu établis que, pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ . Mais l'égalité $\text{[math]}$ dans le seul cas $\text{[math]}$ ne suffit pas pour conclure à $\text{[math]}$ . Il te faudrait avoir l'égalité pour tout $\text{[math]}$ , ou au moins pour tout $\text{[math]}$ appartenant à un ensemble dense...

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**james_83** · 15/11/2008, 15h41

Ok, je pensais que pour g=1,
si "<fn, g> tend vers <f,g>" alors "si fn converge faiblement, alors sa limite faible ne peut être que f ".
Mais ce n'est pas toujours le cas comme le montre ta démonstration.
Merci beaucoup.

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