analyse complexe

[invite769a1844]

Bonsoir,

je ne comprends pas grand chose de cet énoncé:

On considère une application holomorphe , où est un ouvert de . On note la partie réelle de et sa partie imaginaire.

1) Donner une interprétation géométrique de la dérivée de en un point de .

2) Considérons les deux familles de courbes tracées sur suivantes: et où , sont des constantes réelles.
Prouver que ces familles sont orthogonales entre elles.

3) Montrer que est différentiable sur en tant que fonction de deux variables réelles puis que vérifie les équations de Cauchy Riemann.
Ecrire la fonction dérivée en termes des applications et .


Pour la 3) c'est ok, pour la 1) j'ai montré que c'était une similitude mais j'ai utilisé 3) pour ça, et je ne vois pas comment répondre à 1) sans utiliser 3).
La 2) il y a deux familles de fonctions qui doivent être orthogonales, il faudrait donc considérer ces deux familles dans un espace fonctionnel préhilbertien bien précis, mais je ne vois pas lequel?
Cet énoncé me parait vraiment bizarre.

Merci pour votre aide.
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[God's Breath]

Pour le 1), la dérivée de f en un point de U est un nombre complexe, ce n'est pas une similitude...
Pour le 2), il n'est pas question de fonctions orthogonales, mais de courbes tracées sur U,et définies par leurs équations. Pas besoin d'espace fonctionnel préhilbertien, mais de géométrie euclidienne de base.

[invite769a1844]

Pour le 1), la dérivée de f en un point de U est un nombre complexe, ce n'est pas une similitude...

ah oui d'accord c'était en fait la différentielle de en un point qui est une similitude. ok donc c'est juste un point et du coup pas besoin de 3).

je vais creuser un peu plus pour la 2), merci.

[God's Breath]

Pour les questions 1 et 3 :
Dans la question 1, on voit comme application de dans , ; en un point de , la dérivée est un nombre complexe, , et la différentielle une application -linéaire de dans , donc une homothétie de , dont le rapport est justement .
Dans la question 3, on voit comme application de dans , ; en un point de , la différentielle une application -linéaire de dans , qui est une similitude, dont l'expression complexe est fortement liée à .

Pour la question 2, on trace, dans les familles de courbes et d'équations respectives et , et on veut prouver que ces courbes sont orthobonales.
Fais-un dessin pour une fonction holomorphe simple, par exemple , et dessine les courbes en bleu, et les courbes en rouge : tu comprendras ce que l'on veut te faire démontrer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

ok en fait est un point fixé du plan et est la famille des courbes de qui passe par .

Après pour dessiner le graphe de je connais pas trop l'astuce, il faudrait que je interprète alors graphiquement par une droite?

[God's Breath]

ok en fait est un point fixé du plan et est la famille des courbes de qui passe par .

Presque : pour chaque , tu as une courbe dans qui est l'ensemble des points tels que , ce qui te donne une famille de courbes lorsque tu prends les diverses valeurs possibles pour . En remplaçant et par et , tu obtiens une seconde famille de courbes, dont tu dois démontrer qu'elles sont orthogonales aux premières.

Pour , tu as et : tes deux familles de courbes sont d'une part les hyperboles d'équation , d'autre part les hyperboles d'équation .

[invite769a1844]

D'accord parcourt (comme il était dit que était une constante, je croyais du coup que sa valeur était fixé).

Si je prends par exemple, sont les droites verticales.

L'orthogonalité pour les courbes ça se définit comment? Pour les vecteurs, je vois, pour les droites aussi, mais pour autre chose, on fait appel à la tangente?

[God's Breath]

Oui, deux courbes sont orthogonales si, en tout point M en lequel elles sont sécanres, leurs tangentes sont orthogonales.

Si , les deux familles de courbes sont les droites verticales d'une part, les droites horizontales d'autre part.

[invite769a1844]

Je crois que j'ai plus de problème avec l'énoncé qu'avec le problème en lui même. Pour être sûr qu'on parle de la même chose, je vais essayer de définir formellement les objets en jeu.

Si , on définit les courbes:





avec et .
On considère les familles ,

Soient et , il faut donc montrer que ces deux courbes sont orthogonales (mais alors il faudrait que ces deux courbes admettent chacune une tangente aux points où elles se rencontrent pour que ça ait un sens, c'est la dérivée ou la différentielle qui nous procure cette tangente?).

i) les images de ces deux courbes par sont respectivement et et elles se rencontrent seulement au point .

ii) l'image d'une similitude sous forme réelle conserve les angles, par une telle application l'image de deux courbes orthogonales est orthogonale. Ici ( étant un point où les deux courbes sont sécantes) est une similitude, il faudrait donc que je trouve deux courbes orthogonales telles que leurs images respectives soient et ,
et comme ça on peut conclure.

Bon le problème c'est pour connecter i) et ii). Dans i) on regarde les images par des deux courbes. Dans ii), on regarde plutôt les "préimages" (enfin on cherche les bonnes courbes dans le plan de départ) par de ces deux courbes.

[invite769a1844]

je voulais dire df(z) à la fin.

La formulation géométrique exprimée aux pages 29/30 de ce pdf me paraissent claires et proches de mon problème mais j'ai pourtant du mal à me dépatouiller

[God's Breath]

Oui, c'est tout à fait ça. Tes courbes et correspondent aux et du polycop de Michèle Audin. Il faut donc déterminer à quoi correspondent et .

Sinon, tes courbes admettent bien une tangente : ce sont les lignes de niveaux de pour la famille , donc elles sont normales à .
L'orthogonalité des courbes est l'expression de l'orthogonalité de et de , ce qui provient des équations de Cauchy-Riemann.

Mais l'exo est construit à l'envers : il ne faut pas utiliser Cauchy-Riemann, mais la propriété de la différentielle d'être une similitude, comme expliqué par Michèle Audin.

[invite769a1844]

ok maintenant c'est clair, encore merci pour ton aide.

J'ai encore une toute petite question, je recherche la définition d'une application lisse (j'ai une question où il est demandé si la conjugaison complexe est lisse).

J'ai trouvé une définition sur wikipedia mais dans un contexte un peu effrayant pour moi : http://fr.wikipedia.org/wiki/Orbifold,

il doit sûrement avoir une définition plus adaptée à l'analyse complexe.