Analyse complexe

**martini_bird** · 07/10/2004, 11h50

Salut,
voila mon souci: prenez une fonction méromorphe $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ sans pôle dans le disque unité ouvert, avec une singularité essentielle en $\text{[math]}$ (sur la sphère de Riemann); connaissant un développement asymptotique $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ réel >1 qui ne converge pas si $\text{[math]}$ mais qui donne de "bonnes" approximations pour $\text{[math]}$ , je cherche à développer $\text{[math]}$ autour de 0 en utilisant les $\text{[math]}$ . Si quelqu'un a une idée...

**martini_bird** · 08/10/2004, 21h39

Je précise un peu la question...

Pour une fonction analytique $f$ sur $\mathcal C$ admettant un développement asymptotique type série Gevrey, existe-t-il une relation entre les coefficients du dit développement et le développement en 0? $f$ peut éventuellement vérifier une équation fonctionnellle du type $G(f, x)=0$ avec $G$ analytique.

**martini_bird** · 08/10/2004, 21h47

Du type f(x+1)=G(f(x),x) je voulais dire.

invite9e95248d · 09/10/2004, 01h35

je suis pas sur de bien comprendre ta question mais je me lance pour faire avancé le smillblick, en gros t'as une expression de f en l'infini et tu veux pourvoir utiliser les coefficients de cette séries en zéro ? Et en plus ta série diverge autour de zéro ?

De but en blanc je vois pas comment c'est possible mais bon c'est pas une démonstration ^^

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**mtheory** · 09/10/2004, 11h25

Envoyé par martini_bird

Salut,
voila mon souci: prenez une fonction méromorphe $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ sans pôle dans le disque unité ouvert, avec une singularité essentielle en $\text{[math]}$ (sur la sphère de Riemann); connaissant un développement asymptotique $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ réel >1 qui ne converge pas si $\text{[math]}$ mais qui donne de "bonnes" approximations pour $\text{[math]}$ , je cherche à développer $\text{[math]}$ autour de 0 en utilisant les $\text{[math]}$ . Si quelqu'un a une idée...

Je vais peut être dire des grosses conneries mais tu dois bien avoir une transformation conforme qui relie le point en zéro et le point en l'infini?Donc une substitution appropriée dans ton développement en série marchera ,enfin sans doute.
C'est loin pour moi tout ça.

**martini_bird** · 10/10/2004, 13h18

Envoyé par folky

Et en plus ta série diverge autour de zéro ?

Elle converge en 0 et même sur le disque unité.

**martini_bird** · 10/10/2004, 13h31

Envoyé par mtheory

Je vais peut être dire des grosses conneries mais tu dois bien avoir une transformation conforme qui relie le point en zéro et le point en l'infini?Donc une substitution appropriée dans ton développement en série marchera ,enfin sans doute.
C'est loin pour moi tout ça.

C'est pas des bêtises, tu as compris mon problème, mais j'ai pas de relation directe du style $\text{[math]}$ . J'ai juste l'équation fonctionnelle $\text{[math]}$ . Par exemple pour la fonction $\text{[math]}$ d'Euler, $\text{[math]}$ . Pour certaines fonctions $\text{[math]}$ , je pense (mais j'en suis pas certain) qu'il est possible de mettre en évidence une relation entre le développement asymptotique et le développement en 0.

**mtheory** · 10/10/2004, 15h03

Envoyé par martini_bird

C'est pas des bêtises, tu as compris mon problème, mais j'ai pas de relation directe du style $\text{[math]}$ . J'ai juste l'équation fonctionnelle $\text{[math]}$ . Par exemple pour la fonction $\text{[math]}$ d'Euler, $\text{[math]}$ . Pour certaines fonctions $\text{[math]}$ , je pense (mais j'en suis pas certain) qu'il est possible de mettre en évidence une relation entre le développement asymptotique et le développement en 0.

EUH et avec 1/z qu'on change en z?comme ça à vu de nez sans bien trop réfléchir.

**mtheory** · 10/10/2004, 15h09

Malheureusement je n'ai pas mon Dieudonné ni mon Schwartz sous la main.Je te conseil de regarder dedans,ce sera plus efficace que les bêtises que je racconte.

**martini_bird** · 10/10/2004, 16h48

Si tu change z en 1/z; tu obtiens effectivement un développement en l'infini, mais selon des puissances négatives de z. Quand je parle de développement asymptotique, c'est selon des puissance positives (en plus dans un cas particulier qui m'intéresse, il y a aussi un log, mais ça on verra plus tard). Merci néanmoins pour ton aide.

**martini_bird** · 26/03/2005, 15h38

Salut,

si ça intéresse quelqu'un,
j'ai trouvé mon bonheur ici.

A+

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