Bonjour
J'ai quelques soucis avec un exercice :
"Trouver toutes les fonctions f continues sur R admettant pour période 1 et "racine de 2" "
J'ai cherché dans mon cours sur la périodicité d'une fonction je trouve rien qui puisse m'aider je vois même pas par quoi commencer pour aborder le problème puisqu'il faut les trouver "toutes" !
Quelqu'un pourrait me donner quelques indic svp ?!!!
Merci d'avance
Commence par remarquer que (1-sqrt(2))^p s'exprime sous la forme a+b*sqrt(2) , avec a et b entiers, et que ce nombre tend vers 0 quand p tend vers inf.Envoyé par neo_5335
En suite reviens a la définition de la continuité: choisis f admettant 1 et sqrt2 comme périodes, et f continue. Tu pourras alors approcher tout nombre par un nombre de la forme a+b*sqrt(2), et trouver une perdiode de f infiniment petite.
C un peu fouilli mais j'espere que je te mets sur la piste (:
Bah en fait je ne vois pas pourquoi ( désolé je comprend vite mais il faut m'explique longtemps) Qu'est ce qui te permet d'affirmer celà ?!
Désolé je me suis mal exprimé. En fait j'ai fais cet exo ya longtemps et en le refaisant je rencontre a nouveau des difficultés. Pour le resoudre il est commode de faire un dessin (un graphe) montrant la continuité. Je commence une démonstration, merci aux gros chauds de la compléter :
Je montre par l'absurde que ces fonctions sont les fonctions constantes. Je suppose pour cela que il existe a tel que f(a) different de f(0). Alors il existe epsilon tel que |f(a)-f(0)|>epsilon.
Il suffit alors de trouver un réel t verifiant f(0)=f(t) tel que pour tout etha>0, |a-t|<etha ET |f(a)-f(t)|>epsilon. (car f(t)=f(0))
On aurait alors contradiction avec la continuité de f (contraposée de la définition de la continuité en a) donc f serait nécessairement constante égale a f(0).
Maintenant pour trouver un tel t (et c'est la que je coince un peu), il faut s"aider du fait que pour tout p:
f((1-sqrt(2))^p)=f(0) par periodicité . Et compte tenu de la remarque de mon premier post, (1-sqrt(2))^p tend vers 0 en p infini.
En gros sur le dessin, on veut trouver t dans le segment
[a- etha, a+etha] avec t de la forme "entier +sqrt(2)*entier".
Reste a bien choisir t, ce que je ne sais pas faire ((:
(de mémoire on utilise la partie entier de a ou qqchose comme ca).
Si tu y arrives merci de me montrer !
Salut !
Dans cette histoire, on peut utiliser le fait que les périodes forment un sous-groupe additif de R, non ?
Il contient 1 et, qui ne sont pas liés sur Z. Donc il est dense.
Oui c'est sans doute vrai mais comme c'est pas un théoreme au programme de prépa, il faudrait une démonstrationSalut !
Dans cette histoire, on peut utiliser le fait que les périodes forment un sous-groupe additif de R, non ?
Il contient 1 et
Salut,
Au risque de paraître hypocrite je dirais que c'est "adhérent" au programme de prépa. Quoiqu'il en soit, il faut au moins reproduire la preuve dans ce cas particulier.
Sinon une preuve ici http://forums.futura-sciences.com/thread102468.html (message 11)
Merci pour la dem, ca m'interesse bcp d'ailleurs. Mais dans le cadre de cet exo, ca me parait de l'ordre de la grosse artillerie, alors que je crois qu'il est presque fini...
D'accord avec toi Gpadide sur le fait que c'est la grosse artillerie. Mais l'idée essentielle est en fait là, dans cette histoire de densité.
Il suffit d'employer ta (super) idée des puissances. Tu trouves u, puissance de
Maintenant tu choisis k entier tel que
ku a la forme voulue.
Sinon, pour montrer que f est constante, je pense qu'il y a plus simple que la contradiction. Tu veux comparer f(x) à f(x+a). Tu prends une suite de m+n*sqrt(2) qui convergent vers a, et dont on vient de voir l'existence. La suite des f(x+m+n*sqrt(2)), qui valent tous f(x), converge vers f(x+a) car f est continue.
Ok Merci pour la methode c exactement ce qui me manquait.
Pourquoi vers f(x+a) ? Pour moi la suite dont tu parles tend vers f(x) non ?
Salut Gpadide.
Tu as la moitié de mon idée.
Spoilers ahead :
La suite des m+n*sqrt(2) converge vers a. Donc les x+m+n*sqrt(2) convergent vers x+a et, par continuité de f en x+a, les f(x+m+n*sqrt(2)) convergent vers f(x+a).
Comme d'autre part ils valent tous f(x), ils convergent vers f(x).
Par unicité de la limite, f(x)=f(x+a).
