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permutation



  1. #1
    clochette21b

    Exclamation permutation


    J'ai un exercice a preparer et je rame un peu.
    J'ai deja fais 2 3 chose mais la je bloque vraiment.
    Alors voila:

    *Je dois montrer que A4 est le seul ss gpe d'ordre 12 de S4

    *determiner le centre de Sn

    *determiner les ss gpes de S4 d'ordre 4, 6 et 8

    *montrer qu'il n'y a pas de ss gpes isomorphe au gpes des quaternions

    je crois que mon premier pb est de ne pas arriver a faire le produit de 2 permutations
    et qu'est ce que l'opposé d'une permutation ?

    Merci d'avance...

    -----


  2. #2
    homotopie

    Re : permutation (URGENT)

    Bonjour (c'est bien comme mot bonjour),
    Soit H sous-groupe d'ordre 12 alors H est distingué dans S4 (H sous-groupe d'indice 2 de G, G=H union disjointe H', soit x est dans H xHx^-1=H x n'y est pas xH=H' H'x-1=H donc xHx-1=H, j'adore la trivialité de cette preuve )
    G->G/H est un morphisme avec G/H iso qui est un groupe cyclique d'ordre 2. L'image 4ème des 3-cycles est donc "nulle", la puissance 4ème des 3-cycles (donc eux-mêmes) sont dans H. H contient le sous-groupe engendré par les 3-cycles, ce dernier est d'ordre au moins 8 et divise 12 donc égale 12. H=<3-cycles> De même A4=<3-cycles>. Donc H=A.

    Centre de Sn :
    un élément du centre envoie par conjugaison interne (1i) sur (1i) donc laisse stable {1,i}.
    Si n>2, ceci implique que l'élt laisse stable l'intersection qui est égal à {1} i.e laisse stable tous les i.
    => centre ={e}
    Si n=2, c'est évident.

    Sous-groupes :
    ordre 4 :
    il existe un élément d'ordre c'"est un C4, il y en a 3 (conjugués) dans S4
    sinon l'ordre des éléments non nuls divisent 4 sans être égal à4 ou à 1 donc est égal à 2.
    (xy)²=e=xyxy d'où xy=yx le groupe est abélien , c'est un V4
    Au moins un des 3 éléments d'ordre 2 appartient à A4 (considérer la signature restreint à ce sous-groupe)
    Le centre d'un élément du type (ab)(cd) laisse globalement stable {{a,b},{c,d}}
    {a,b} et {c,d} stables=>(ab) ou (cd) ou id
    non stables mais ordre 2=>(ac)(bd) ou (ad)(bc)
    =>1 V4 distingué et 3 autres V4 conjugués

    Ordre 6 :
    H est un sous-groupe d'indice 4
    H inter A4 contient au moins un 3-cycle (il n'y a que 4 éléments dans A4 qui ne le sont pas)
    Ce 3-cycle est d'indice 2 donc distingué dans H.
    Le normalisateur d'un 3-cycle (abc) laisse {a,b,c} stable donc le 4ème est fixe. Il ne reste que (ab) (ac) et (bc)
    Or le 3-cycle et ces 3 éléments forment un sous-groupe iso à S3.
    D'où les sous-groupes d'ordre 6 sont les normalisateurs des 3-cycles, il y en a 4 conjugués et sont iso à S3.

    Ordre 8
    signature restreint à H noyau =8 ou 8/2 mais il n' y a pas de sous-groupe d'ordre 8 dans A4 ( 8 ne divise pas 12)
    d'où noyau=4 donc c'est le V4 : (ab)(cd) et ses cousins.
    De plus il y a également un élément à signature=-1.
    Soit un élément d'ordre 2 type (ab)
    oit un élément d'ordre 4 type (acbd)
    Dans les deux cas il commute avec un des 3 élts d'ordre 2 du V4 de A4 et permutte les deux autres donc dans le centre d'un élément non nul du V4.
    Les 3 éléments sont conjugués donc les sous-groupes d'ordre 8 sont les centres des éléments d'ordre 2 de A4, sont conjugués entre eux et sont isomorphes à D8.

    Les sous-groupes d'ordre 8 sont des D8 donc pas de sous-groupe quaternionique Q8.

    On peut simplifier certaines parties si tu connais le début de la théorie des sous-groupes de Sylow.

  3. #3
    clochette21b

    Re : permutation (URGENT)

    merci bcp, je t'avoue que je n'ai pas tout compris mais je vais reprendre tout ca et on va bien voir !

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