permutation
J'ai un exercice a preparer et je rame un peu.
J'ai deja fais 2 3 chose mais la je bloque vraiment.
Alors voila:
*Je dois montrer que A4 est le seul ss gpe d'ordre 12 de S4
*determiner le centre de Sn
*determiner les ss gpes de S4 d'ordre 4, 6 et 8
*montrer qu'il n'y a pas de ss gpes isomorphe au gpes des quaternions
je crois que mon premier pb est de ne pas arriver a faire le produit de 2 permutations
et qu'est ce que l'opposé d'une permutation ?
Merci d'avance...
Bonjour (c'est bien comme mot bonjour),
Soit H sous-groupe d'ordre 12 alors H est distingué dans S4 (H sous-groupe d'indice 2 de G, G=H union disjointe H', soit x est dans H xHx^-1=H x n'y est pas xH=H' H'x-1=H donc xHx-1=H, j'adore la trivialité de cette preuve)
G->G/H est un morphisme avec G/H iso qui est un groupe cyclique d'ordre 2. L'image 4ème des 3-cycles est donc "nulle", la puissance 4ème des 3-cycles (donc eux-mêmes) sont dans H. H contient le sous-groupe engendré par les 3-cycles, ce dernier est d'ordre au moins 8 et divise 12 donc égale 12. H=<3-cycles> De même A4=<3-cycles>. Donc H=A.
Centre de Sn :
un élément du centre envoie par conjugaison interne (1i) sur (1i) donc laisse stable {1,i}.
Si n>2, ceci implique que l'élt laisse stable l'intersection qui est égal à {1} i.e laisse stable tous les i.
=> centre ={e}
Si n=2, c'est évident.
Sous-groupes :
ordre 4 :
il existe un élément d'ordre c'"est un C4, il y en a 3 (conjugués) dans S4
sinon l'ordre des éléments non nuls divisent 4 sans être égal à4 ou à 1 donc est égal à 2.
(xy)²=e=xyxy d'où xy=yx le groupe est abélien , c'est un V4
Au moins un des 3 éléments d'ordre 2 appartient à A4 (considérer la signature restreint à ce sous-groupe)
Le centre d'un élément du type (ab)(cd) laisse globalement stable {{a,b},{c,d}}
{a,b} et {c,d} stables=>(ab) ou (cd) ou id
non stables mais ordre 2=>(ac)(bd) ou (ad)(bc)
=>1 V4 distingué et 3 autres V4 conjugués
Ordre 6 :
H est un sous-groupe d'indice 4
H inter A4 contient au moins un 3-cycle (il n'y a que 4 éléments dans A4 qui ne le sont pas)
Ce 3-cycle est d'indice 2 donc distingué dans H.
Le normalisateur d'un 3-cycle (abc) laisse {a,b,c} stable donc le 4ème est fixe. Il ne reste que (ab) (ac) et (bc)
Or le 3-cycle et ces 3 éléments forment un sous-groupe iso à S3.
D'où les sous-groupes d'ordre 6 sont les normalisateurs des 3-cycles, il y en a 4 conjugués et sont iso à S3.
Ordre 8
signature restreint à H noyau =8 ou 8/2 mais il n' y a pas de sous-groupe d'ordre 8 dans A4 ( 8 ne divise pas 12)
d'où noyau=4 donc c'est le V4 : (ab)(cd) et ses cousins.
De plus il y a également un élément à signature=-1.
Soit un élément d'ordre 2 type (ab)
oit un élément d'ordre 4 type (acbd)
Dans les deux cas il commute avec un des 3 élts d'ordre 2 du V4 de A4 et permutte les deux autres donc dans le centre d'un élément non nul du V4.
Les 3 éléments sont conjugués donc les sous-groupes d'ordre 8 sont les centres des éléments d'ordre 2 de A4, sont conjugués entre eux et sont isomorphes à D8.
Les sous-groupes d'ordre 8 sont des D8 donc pas de sous-groupe quaternionique Q8.
On peut simplifier certaines parties si tu connais le début de la théorie des sous-groupes de Sylow.
merci bcp, je t'avoue que je n'ai pas tout compris mais je vais reprendre tout ca et on va bien voir !
