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somme de fonctions périodiques



  1. #1
    romain.l

    somme de fonctions périodiques


    ------

    Bonjour,

    j'aimerais savoir comment on démontre que la somme d'une fonction T1 périodique et d'une fonction T2 périodique est elle même périodique ssi T1 et T2 sont commensurables.

    C'est juste par simple curiosité. Car j'utilise ce résultat en optique et j'aimerais bien savoir d'ou il vient (ca fait une heure que je cherche mais il faut m'y résoudre, mes années prépas sont loin et je suis devenu physicien ...)

    Merci

    Bonne soirée

    Romain

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : somme de fonctions périodiques

    Au bout de k1 périodes T1 la 1ère fonction a retrouvé sa valeur.
    Au bout de k2 périodes T2 la seconde a retrouvé sa valeur.
    La somme retrouve sa valeur si au bout du temps T la somme retrouve sa valeur.
    Ca suppose que T = k1 T1 = k2 T2 donc que le rapport des périodes est rationnel.

  4. #3
    romain.l

    Re : somme de fonctions périodiques

    Pour ca, je suis tout à fait d'accord,

    mais ca montre seulement que si T1 et T2 commensurables alors f + g est périodique. Le probleme est l'autre sens :

    pourquoi f + g périodique implique T1 et T2 commensurables ?

    ou

    pourquoi T1 et T2 non commensurables implique f + g non périodique ?

    En fait je pose bien mes hypotheses :

    i.e. f et g périodiques et non constantes (je ne suis pas sur que l'hypothese non constantes soit nécessaire)

    je définis T1 comme la plus petite période de f. T1 > 0 car f non constante.

    je définis T2 comme la plus petite période de g. T2 > 0 car g non constante.

    Je suppose f + g périodique et alors je pose T la plus petite période de f + g.

    Et le but est alors de montrer que nécessairement T1 / T2 est rationnel.

    Mon idée est de faire un raisonnement par l'absurde et de supposer T1 / T2 irrationnel.

    J'imagine, que si c'est irrationnel, on va pouvoir trouver une nouvelle période de f plus petite que T1 ou une nouvelle période de g plus petite que T2 ou une nouvelle période de f + g plus petite que T, ce qui n'existe pas par hypothese d'ou l'absurdité. Seulement, je ne parviens pas à construire de telles périodes. Ou, autre idée, en utilisant le caractere irrationnel de T1/T2 et des histoires de densité dans R, on pourrait peut etre aboutir à f ou g constante ce qui est encore faux par absurde (mais cette idée est plutot vague pour l'instant ...)

    Bonne soirée

    Romain

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : somme de fonctions périodiques

    Je serais quand même un peu prudent sur cette affaire.
    Voici un exemple non pas d'une somme mais d'un produit de 2 fonctions périodiques f et g qui est lui-même une fonction périodique sans que les périodes de f et g soient commensurables :
    f vaut zéro sauf pour les multiples de e où elle vaut 1, c'est donc une fonction périodique de période e.
    g vaut zéro sauf pour les nombres entiers où elle vaut 1, c'est donc une fonction périodique de période 1.
    Le produit f*g vaut partout zéro, c'est une fonction périodique.

    Pour une somme, je n'ai pas encore trouvé de contre-exemple.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Taar

    Re : somme de fonctions périodiques

    Voici un commencement de début d'élément de réponse que j'ai trouvé dans le cas continu et à valeurs réelles.

    Soient f et g deux fonctions continues de R dans R. On suppose f 1-périodique et g e-périodique par exemple.

    Alors Max(f+g)=Max(f)+Max(g). C'est une histoire de continuité et de densité du groupe Z+Ze dans R.

    Supposons de plus f+g T-périodique avec, par exemple, T incommensurable à e (sinon on utilise f au lieu de g ci-dessous).

    Soit x dans l'ensemble {x;(f+g)(x) maximum}
    Alors pour tout k, (f+g)(x+kT)=(f+g)(x) est maximum, donc g(x+kT)=Max g. Et pour tout l, g(x+kT-le)=Max g.
    Toujours par densité et continuité, g est constante.

    Pour le cas général, je cherche toujours. J'ai le pressentiment que c'est faux.

    Taar.

  8. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : somme de fonctions périodiques

    Citation Envoyé par romain.l Voir le message
    j'aimerais savoir comment on démontre que la somme d'une fonction T1 périodique et d'une fonction T2 périodique est elle même périodique ssi T1 et T2 sont commensurables.
    salut,

    c'est faux en général. je ne souviens plus des détails mais j'avais vu un contre-exemple dans un cours d'analyse harmonique (peut-être Malliavin? sais plus)

  9. Publicité
  10. #7
    Taar

    Re : somme de fonctions périodiques

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Max(f+g)=Max(f)+Max(g). C'est une histoire de continuité et de densité du groupe Z+Ze dans R.
    Pardon, j'aurais dû écrire :

    Sup(f+g)=Max(f)+Max(g)

    à ce stade. Ce n'est qu'après que je suppose f+g périodique.
    Mais je pense que la preuve que j'ai proposée est correcte avec cette modification.

    J'ai une piste pour un contre-exemple si on ne suppose pas la continuité. Des nouvelles bientôt peut-être.

    Taar.

  11. #8
    invite986312212
    Invité

    Re : somme de fonctions périodiques

    salut,

    il y a ici:
    http://mathforum.org/kb/message.jspa...41355&tstart=0
    une discussion sur ce thème, avec un contre-exemple, dont je donne ci-dessous une traduction (en spoiler pour laisser à Taar le plaisir de trouver son propre contre-exemple).

     Cliquez pour afficher

  12. #9
    rvz

    Re : somme de fonctions périodiques

    Salut,

    Très joli contre-exemple !

    Peut-être à ajouter à liste des contre-exemples, non ?

    __
    rvz

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