monoïde et groupe "générique"
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monoïde et groupe "générique"



  1. #1
    inviteb429a199

    monoïde et groupe "générique"


    ------

    Bonsoir!

    Je sais ce qu'est un groupe et un monoïde mais dans le cours on parle du groupe générique ainsi que du monoïde générique...

    Que signifie générique ? Quelle(s) caractéristique(s) un groupe ou un monoïde doivent-ils avoir pour être qualifiés de "générique" ?

    Merci de votre aide!

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Peut-être s'agit-il de monoïdes et de groupes libre à n générateurs, par exemple, (IN, +) est le monoïde libre à 1 générateur.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    inviteb429a199

    Re : monoïde et groupe "générique"

    J'ai demandé à mon prof car ça m'énervait de ne pas trouver la réponse!
    Son explication a été très confuse mais si j'ai bien saisi en fait on a :
    (N,+,0) est le monoïde générique (avec N est l'ensemble des entiers naturels) ce qui signifie que si on prend un autre monoïde quelconque par exemple (M,.,1) alors il existe un homomorphisme phiN,+,0)---->(M,.,1) qui a n associe x^n. (d'où le mot générique car ça génére un homomorphisme)

    Il faudra que je redemande confirmation ...

  4. #4
    invite4ef352d8

    Re : monoïde et groupe "générique"

    pas tres convainquant comme explication je trouve.

    en tous cas j'ai jammais vu ce therme avant, donc ca n'est peut-etre pas si universelle que cela comme appelation.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    DSCH

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par conejita Voir le message
    J'ai demandé à mon prof car ça m'énervait de ne pas trouver la réponse!
    Son explication a été très confuse mais si j'ai bien saisi en fait on a :
    (N,+,0) est le monoïde générique (avec N est l'ensemble des entiers naturels) ce qui signifie que si on prend un autre monoïde quelconque par exemple (M,.,1) alors il existe un homomorphisme phiN,+,0)---->(M,.,1) qui a n associe x^n. (d'où le mot générique car ça génére un homomorphisme)

    Il faudra que je redemande confirmation ...
    Hmmm, je vais peut-être dire une grosse bêtise, mais cela n'aurait-il pas quelque chose à voir avec la notion d'objet initial en théorie des catégories ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  7. #6
    inviteb429a199

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Hmmm, je vais peut-être dire une grosse bêtise, mais cela n'aurait-il pas quelque chose à voir avec la notion d'objet initial en théorie des catégories ?
    Aucune idée!

    ça fait 5jours que je me bats avec cette notion de "générique" et je n'ai rien trouvé ni sur le net, ni dans les livres ni même sur les 2 forums de maths que je fréquente...

  8. #7
    DSCH

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Au cas où je ne dirais pas n'importe quoi (ce qui reste à démontrer), tu pourrais trouver des informations en faisant une recherche sur la notion de problème universel. Par exemple, Wikipédia possède un bref article sur le sujet.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  9. #8
    Médiat

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Hmmm, je vais peut-être dire une grosse bêtise, mais cela n'aurait-il pas quelque chose à voir avec la notion d'objet initial en théorie des catégories ?
    Cela y ressemble, mais l'objet initial de la catégorie des monoïde n'est-il pas plutôt un singleton (monoïde réduit à l'élément neutre) ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #9
    inviteb429a199

    Re : monoïde et groupe "générique"

    C'est dingue ça! Si je demande ce qu'est une tribu tout le monde ici saura me le dire mais la notion de monoïde générique à l'air de géner beaucoup de monde! Etrange...

  11. #10
    invite35452583

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par conejita Voir le message
    C'est dingue ça! Si je demande ce qu'est une tribu tout le monde ici saura me le dire mais la notion de monoïde générique à l'air de géner beaucoup de monde! Etrange...
    Peut-être parce que le terme "tribu" est usuel tandis que monoïde générique l'est si peu que les deux seuls sujets en traitant réellement sur le net semblent être ce fil et celui ouvert dans un autre forum de mathématiques.
    "générique" : les monoïdes les plus simples à engendrer sont ceux à un seul élément qui sont tous images de (N,+,). Le terme n'est donc pas abusif mais n'est pas courant.

  12. #11
    inviteb429a199

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Peut-être parce que le terme "tribu" est usuel tandis que monoïde générique l'est si peu que les deux seuls sujets en traitant réellement sur le net semblent être ce fil et celui ouvert dans un autre forum de mathématiques.
    Le post ouvert sur un autre forum ne serait il pas ouvert par la même que celle qui a lancé ce sujet ici même ?

  13. #12
    invite35452583

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par conejita Voir le message
    Le post ouvert sur un autre forum ne serait il pas ouvert par la même que celle qui a lancé ce sujet ici même ?
    J'avais cru remarquer. Ca confirme que le terme semble peu usité.

  14. #13
    invitebe0cd90e

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Vu ta definition, je pense qu'il s'agit du groupe (monoide) libre.. comme je ne vois pas trop ce que vient faire le x^n dans ton message, je redonne une def de cette notion, dis moi si ca colle : le groupe libre Fn à n generateur est l'unique (a isomorphisme pres) groupe engendré par n element a_1,..,a_n qui verifie la propriété suivante :

    pour tout groupe G, toute application de {a_1,...,a_n} dans G peut etre etendue en un morphisme de groupe de Fn dans G.

    Ce n'est pas forcement une def habituelle, mais j'essaie de coller a la tienne. Moralement, ca revient a dire qu'il n'existe aucune relation entre les a_i, et qu'on peut donc les envoyer librement sur n'importe quels elements de n'importe quel groupe, ca pourra toujours s'etendre en un morphisme.

  15. #14
    inviteb429a199

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    comme je ne vois pas trop ce que vient faire le x^n dans ton message,
    Le x^n provient du fait que l'on a choisi le monoïde (M,.,1) (si ça avait été (M,+,0) on aurait eu nx).
    Je ne pense pas que ma déf corresponde à la tienne.

    Demain je vois mon deuxième prof d'algèbre, je lui demanderai une explication un peu plus clair en espérant qu'il puisse me répondre! (ce n'est qu'un tout petit détail du cours mais ça m'énerve de ne pas savoir! lol)

    Je vous tiendrai au courant si cela vous intéresse!

  16. #15
    invitebe0cd90e

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par conejita Voir le message
    Le x^n provient du fait que l'on a choisi le monoïde (M,.,1) (si ça avait été (M,+,0) on aurait eu nx).
    Je ne pense pas que ma déf corresponde à la tienne.

    Demain je vois mon deuxième prof d'algèbre, je lui demanderai une explication un peu plus clair en espérant qu'il puisse me répondre! (ce n'est qu'un tout petit détail du cours mais ça m'énerve de ne pas savoir! lol)

    Je vous tiendrai au courant si cela vous intéresse!
    Oui, j'avais compris, mais plus precisement, je me demandais qui etait x ? un element quelconque de M ? dans ce cas la definition concorde, sauf que la definition de groupe libre est plus generale. en gros, ton monoide generique serait ce que j'appelle un monoide libre a 1 generateur.

    en effet, N est bien le monoide libre a 1 generateur, et ma caracterisation implique que pour tout monoide M et tout x de M, l'application qui a 1 associe x peut s'etendre en un morphisme de monoide (en l'occurence, pour avoir un homomorphisme on doit avoir f(n)=f(1)^n =x^n), donc ca correspond a ce que tu dis.

  17. #16
    inviteb429a199

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Oui je vois ce que tu veux dire, et bien j'en parlerai à mon prof demain pour voir ce qu'il en pense...
    Dans ce cas montrer que le groupe générique est (Z,+,1) est évident il suffit de montrer que chaque élément a son inverse dans Z (évident vu que l'on est dans l'ensemble des nombres entiers relatifs)...

  18. #17
    invitebe0cd90e

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Je ne sais pas trop si on le "montre", c'est presque une definition. En reprenant la notion de groupe libre, c'est à peu pres evident que Z est le groupe libre a 1 generateur, et c'est donc ce que tu appeleras groupe générique.

    Apres, je ne vois pas trop pourquoi (dis moi ce qu'en dis ton prof) on distingue les structures libres a 1 generateurs par rapport aux autres. Elles verifient en effet toutes la meme propriété en gros... La seule difference est qu'a partir de 2 generateurs on a des choses beaucoup plus "moches" assez difficile a visualiser, mais apres c'est sensiblement la meme chose....

    On peut faire un parallele avec les espaces vectoriels. Ce qui fait que les ev sont "agreables", c'est que tout espace vectoriel est libre au sens de la definition que j'ai donnée plus haut (en remplacant "morphisme de groupe" par "application lineaire".) Or, en faisant varier la dimension d'un ev on obtient quelque chose de plus emm*** a manipuler, mais d'une certaine maniere tous les ev se ressemblent enormement. De la meme maniere, tous les groupes libres, tous les monoides libres sont assez semblables...

  19. #18
    Médiat

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Apres, je ne vois pas trop pourquoi (dis moi ce qu'en dis ton prof) on distingue les structures libres a 1 generateurs par rapport aux autres. Elles verifient en effet toutes la meme propriété en gros... La seule difference est qu'a partir de 2 generateurs on a des choses beaucoup plus "moches" assez difficile a visualiser, mais apres c'est sensiblement la meme chose....
    [HS]
    Les groupes libres sur n générateurs (n > 1) ne sont pas superstables, contrairement au groupe libre à un générateur
    [/HS]
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #19
    inviteb429a199

    Re : monoïde et groupe "générique"

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    (dis moi ce qu'en dis ton prof)
    Bonjour!

    Alors mon prof en dit qu'il ne sait pas et qu'il va demander à mon autre prof!

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