Anneau Principal mais pas Euclidien

[invite423aa977]

Bonsoir à tous.

Comme chacun sait (ou devrait savoir ) un anneau euclidien est toujours principal. Cependant la réciproque n'est pas vraie. Il y a des contres exemples (qui ne courent pas les rues..) et c'est a l'un d'entre eux que je m'interesse.

Il s'agit A={ | et = }

Pour montrer cela, n'ayant ni les moyens ni le temps de trouver la preuve tout seul, je suis les questions d'un problème.

Je vais donc vous passer les details en vous donnant simplement les resultats de chaque questions:
1. A est un anneau abelien, intègre et l'écriture d'un est unique
2. On definit l'application de A dans C par
C'est un morphisme multiplicatif qui vérifie et qui est en fait à valeur dans N
3. On détermine les inversibles de A: 1 et -1
4. On determine les élements x de A tels que N(x)=1: 1 et -1 encore une fois.

5. On suppose que A est euclidien et il faut montrer qu'il existe \ {0,1,-1} tel que ,
u divise x ou u divise x-1 ou u divise x+1.

C'est a cette question que je suis bloqué et je ne vois pas comment la prendre.

Si vous pouviez m'aider, d'avance merci.
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[invite9cf21bce]

5. On suppose que A est euclidien et il faut montrer qu'il existe \ {0,1,-1} tel que ,
u divise x ou u divise x-1 ou u divise x+1.

C'est a cette question que je suis bloqué et je ne vois pas comment la prendre.

Salut. Je te le reformule :

Il existe tel que pour tout x, le reste de la division euclidienne de x par u soit 0, 1 ou -1.

Taar.

[invite35452583]

Je ne sais pas si ça t'intéresse toujours mais j'en donne la preuve dans la rubrique "contre-exemple".
Si tu veux toujours le faire seul, un indice : considère l'élément de plus petite stathme.