Anneau euclidien

[invitebb921944]

Bonjour !
On me demande de montrer que si A est euclidien, il existe a de A qui n'est pas inversible tel que la restriction de la projection A->A/(a) à A*U{0} est surjective.
Je ne vois pas quoi faire...
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[invite9cf21bce]

Bonjour !
On me demande de montrer que si A est euclidien, il existe a de A qui n'est pas inversible tel que la restriction de la projection A->A/(a) à A*U{0} est surjective.
Je ne vois pas quoi faire...

Salut. Ce qu'on te demande de trouver, c'est un a tel que, en gros, l'ensemble des restes non nuls possibles dans les divisions par a est déjà entièrement obtenu quand on prend seulement les éléments de A* comme dividendes (je dis "en gros" car s'il n'y a pas unicité du reste, ce n'est pas tout à fait ça).

Pour avoir des chances de réussir, il est raisonnable de faire en sorte que cet "ensemble de tous les restes" soit le plus petit possible.

Pour un indice :

 Cliquez pour afficher

Ce serait parfait si les restes possibles étaient précisément les éléments de A*.

Pour un spoiler, regarde le message d'homotopie dans ce fil.

Taar.

[invitebb921944]

Je ne comprends pas très bien cette histoire de division euclidienne.
La démo est la même que celle pour démontrer que n'importe quel anneau euclidien est principal j'imagine mais je ne vois pas le lien entre la restriction de la projection canonique et la division euclidienne.
Pour le fil de homotopie j'étais dejà au courant en fait mais je n'arrive pas à faire cette question tout de même.
J'ai essayé un truc naïf du style je suppose que l'antécédent d'un élément de A/(a) est inversible et j'essaie d'en déduire une propriété sur a mais je n'aboutis à rien...

En tout cas merci de ton aide !

[invite9cf21bce]

je ne vois pas le lien entre la restriction de la projection canonique et la division euclidienne.

Place-toi dans le cas où le reste est unique pour simplifier. Alors l'idée est la même que dans Z : dans chaque classe modulo a, il y a un représentant privilégié, qui est le reste de la division par a :

deux éléments sont congrus modulo a ils ont même reste en divisant par a

En ces termes, la surjection canonique A->A/(a) s'identifie à l'application A->ensemble de tous les restes (0 compris), x reste de la division de x par a.

(si le reste n'est pas unique, il faut choisir un reste parmi tous les restes possibles mais l'idée reste la même)

Taar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Merci encore !
Ok alors je vais supposer r>0 et a>0 pour simplifier.
f:A->A/(a) qui a x->r où on a x=aq+r avec r=0 ou r<a.
Si r=0, alors x=0 convient pour a quelconque.
Si r différent de 0.
On a x=aq+r.
Là j'ai envie de supposer que x est inversible et en déduire une condition (par équivalences successives) sur a mais j'ai un peu des doutes.
Il existe b de A tel que
1=bx=b(aq+r)
Et je nage...
SNIF

Faut-il que je trouve réellement ce a où que je montre simplement son existence ?
J'ai essayé des trucs folkloriques du style a=min{x de A tel que x>0} comme à l'accoutumée dans la démonstration euclidien => principal mais ça ne donne rien !

[invite9cf21bce]

Faut-il que je trouve réellement ce a où que je montre simplement son existence ?

Il faut montrer simplement son existence.

J'ai essayé des trucs folkloriques du style a=min{x de A tel que x>0} comme à l'accoutumée dans la démonstration euclidien => principal mais ça ne donne rien !

C'est l'idée.

Je te donne deux versions.

La version "comment découvrir la réponse".

 Cliquez pour afficher

Toujours dans le cas où le reste est unique.
Soit R l'ensemble des restes possibles. Restreinte à R, l'application x->reste est l'identité, surjective. Si on s'arrange pour que R soit inclus dans A* U {0}, c'est gagné.

La version "je te donne la réponse".

 Cliquez pour afficher

Prends pour a un élément de stathme minimum parmi les éléments de A ni nuls, ni inversibles. Alors un reste donné est :

• nul
• ou alors, son stathme est plus petit que celui de a ; il est donc inversible par construction de a.

Ça marche dans tous les cas.

Taar.

[invitebb921944]

Merci beaucoup !