Bonjour,
Soitune extension finie de
, et
.
Je souhaite montrer les équivalences:
i)est dans l'anneau des entiers de
;
ii) le polynôme minimal desur
est à coefficients entiers,
iii) le polynôme caractéristique deest à coefficients entiers,
étant le
-endomorphisme qui à
associe
.
Pour l'implication i) => ii), c'est ok en utilisant le lemme de Gauss.
Pour l'implication ii) => ii), j'essaie de voir si on peut trouver une base detels que la matrice de
dans cette base soit à coefficients entiers, mais je ne vois pas comment montrer l'existence d'une telle base.
Pour (iii) => (i), il me semble que l'on peut montrer à l'aide de Cayley-Hamilton que le polynôme caractéristique deannule
, comme ce polynôme est unitaire et à coefficients entiers, on a (i).
Merci.
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