Bonjour,
J'ai un souci dans une démonstration et j'aurais besoin d'aide.
Si A est un anneau primitif (nul besoin de savoir ce que c'est), alors
Soit A est isomorphe à, l'anneau de toutes les matrices nxn à coefficient dans le corps
, soit il existe un morphisme surjectif d'un sous-anneau
dans
.
(n et m sont des entiers)
On veut montrer en fait que A est isomorphe à(c'est-à dire
).
On sait de plus que pour tout élément, il existe un entier n(a)>1 tel que
.
L'auteur écrit :
Supposons par l'absurde que A n'est pas isomorphe à, alors peu importe le cas dans lequel on se trouve, on a n>1 (ou m>1 dans l'autre cas), et il montre que c'est absurde en exhibant une matrice nilpotente de
, k>1 qui ne peut ainsi pas vérifier la propriété
.
Mon problème, c'est que l'hypothèse d'absurdité implique bien n>1 mais pourquoi m>1 dans le second cas ? Si m=1, on a simplement un morphisme surjectif d'un sous-anneau de A dans le corpsalors je ne vois pas bien comment il peut en déduire que A est isomorphe à
.
Voilà...
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