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Morphisme d'un anneau dans un corps



  1. #1
    invite43219988

    Morphisme d'un anneau dans un corps


    ------

    Bonjour,
    J'ai un souci dans une démonstration et j'aurais besoin d'aide.

    Si A est un anneau primitif (nul besoin de savoir ce que c'est), alors
    Soit A est isomorphe à , l'anneau de toutes les matrices nxn à coefficient dans le corps , soit il existe un morphisme surjectif d'un sous-anneau dans .
    (n et m sont des entiers)

    On veut montrer en fait que A est isomorphe à (c'est-à dire ).
    On sait de plus que pour tout élément , il existe un entier n(a)>1 tel que .

    L'auteur écrit :
    Supposons par l'absurde que A n'est pas isomorphe à , alors peu importe le cas dans lequel on se trouve, on a n>1 (ou m>1 dans l'autre cas), et il montre que c'est absurde en exhibant une matrice nilpotente de , k>1 qui ne peut ainsi pas vérifier la propriété .
    Mon problème, c'est que l'hypothèse d'absurdité implique bien n>1 mais pourquoi m>1 dans le second cas ? Si m=1, on a simplement un morphisme surjectif d'un sous-anneau de A dans le corps alors je ne vois pas bien comment il peut en déduire que A est isomorphe à .

    Voilà...

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Morphisme d'un anneau dans un corps

    Bonjour,

    Le corps est-il quelconque, ou dépend-il de l'anneau ?

  3. #3
    invite43219988

    Re : Morphisme d'un anneau dans un corps

    En fait A est un anneau primitif, il existe donc par définition de "primitif" des A-modules irréductibles et fidèles.
    Le corps en question est en fait l'anneau commutant de (l'ensemble des endomorphismes de M vu comme A-module) qui dans le cas où M est irréductible (ce qui est le cas ici) est un corps gauche.

  4. #4
    invite43219988

    Re : Morphisme d'un anneau dans un corps

    Bon c'est bon en fait, j'ai résolu le problème et ca utilise une autre démonstration un peu compliquée.
    Merci de m'avoir lu.

    Bonne soirée !

  5. A voir en vidéo sur Futura

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