Fonction beta d'Euler

[invitee51caab2]

Bonjour,

J'ai besoin de vos lumières à propos de la fonction beta d'Euler.
On la définit par .

Pourriez-vous m'aider à établir que B(x+1,y) = x/x+y B(x,y) ? J'ai essayé par IPP mais ça n'aboutit pas... Y a-t-il un changement de varaibles à faire, ou autre chose ?..

De plus, comment calcule-t-on B(1/2,1/2) ?

Merci !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

J'ai besoin de vos lumières à propos de la fonction beta d'Euler.
On la définit par .

Pourriez-vous m'aider à établir que B(x+1,y) = x/x+y B(x,y) ? J'ai essayé par IPP mais ça n'aboutit pas... Y a-t-il un changement de varaibles à faire, ou autre chose ?..

De plus, comment calcule-t-on B(1/2,1/2) ?

Merci !

On a
Une intégration par parties doit permettre d'exprimer en fonction de .

Bêtement : et l'on peut primitiver avec un arcsinus.

[invitee51caab2]

Bonjour God's Breath,

Houla d'accord, ben je n'aurais jamais trouvé pour la relation entre B(x+1,y) et B(x,y)... Cette question est issue du sujet du CAPES de cette année : ce résultat est classique et censé être connu, ou bien les candidats devaient-ils avoir assez de flair pour intuiter ça d'eux-mêmes ?

Une bidouille de calcul de ce genre dès la deuxième question, c'est pô sympa

[invite57a1e779]

Houla d'accord, ben je n'aurais jamais trouvé pour la relation entre B(x+1,y) et B(x,y)... Cette question est issue du sujet du CAPES de cette année : ce résultat est classique et censé être connu, ou bien les candidats devaient-ils avoir assez de flair pour intuiter ça d'eux-mêmes ?

La décomposition est des plus classiques ; on l'utilise pour les polynômes de Bernstein par exemple, et on peut décemment penser qu'un candidat au CAPES l'a rencontrée pendant sa préparation.

Quant au calcul de , il s'agit d'une primitivation classique.
On peut aussi utiliser la relation entre et pour se ramener à calculer avec le changement de variable classique dans les intégrales abéliennes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee51caab2]

Comme quoi, il me reste encore pas mal à progresser avant d'être au niveau pour le CAPES ! (si je bloque déjà sur la question 2, on n'a pas fini... ^^)

Merci, à bientôt !