Dans l'énoncé de l'exo, je ne vois pas encore le rapport avec la dite fonction gamma d'euler, mais on me demande la chose suivante.
...........................n
Soit Un=Somme(cos(kx))
..........................k=1
Montrez qu'il existe deux rationnels A et B tels que :
Un=A+B*sin[(2n+1)x/2]/sin(x/2)
C'est pas gagné :/ (encore un coup de mon prof qui prend les élèves de prépa pour des personnes en licence).
salut,
essaye peut-être en utilisant:
cos(k*x) =Re[exp(ikx)]
j'trouve que ca ressemble pas mal à la transformation en sinus de la fonction cos... Y'a peut-etre quelque chose a faire avec ca
J'ai trouvé ! (merci à tous)
Humpf c'était vraiment pas évident (bon les 4h dessus aidant) :
On considère la suite :
Vn = 1+cos(x)+...cos(nx)=Un +1
On a Vn=Re(1+exp(ix)+exp(i2x)+...+e xp(inx))
(Vn suite réelle)
On pose Wn=1+exp(ix)+exp(i2x)+...+exp( inx)
(Wn suite complexe)
Wn est une suite géométrique de raison exp(ix) de somme :
S(Wn)=1-(exp(ix))^(n+1)/(1-exp(ix))
en trifouillant grâce à une des formules d'Euler (encore lui !), qui est :
e(ix)-e(-ix)=2i*sin(x/2)
on obtient S(Wn)=exp(inx/2)*sin[(n+1)x/2]/sin(x/2)
avec Vn=Re(Wn), on obtient Vn=cos(nx/2)*sin[(n+1)*x/2]/sin(x/2)
et Un=Vn -1={cos(nx/2)*sin[(n+1)*x/2]-sin(x/2)}/sin(x/2)
soit en utilisant sin(a)*cos(b)=1/2(sin(a+b)-sin(a-b)) le résultat voulu !
Un=A+B*sin[(2n+1)x/2]/sin(x/2)
avec A=-1/2 et B=1/2 !
Salut,
si je peux me permettre, retiens ce genre d'astuce, c'est très courant dans les épreuves de concours.
Pas besoin d'aller chercher si loin, je l'ai eu en DM, assez astucieux mais pas compliqué :
s'intéresser au produit de sin(x/2) x somme de 1 à de cos(kx) ce qui revient à étudier (en rentrant le sin(x/2) dans la somme) : sin(x/2)x(cos(kx))=[sin(x(k+1/2)/2)xsin(x(k-1/2)/2)]/2 (par une formule de trigo)
on a ensuite une somme télescopique
et on obtient le résultat
Donc effectivement il n'y a aucun rapport avec la fonction gamma d'Euler, mais simplement avec la formule d'Euler.
Mais peut-être l'exercice a-t-il une suite ?
