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Fonction Gamma d'Euler



  1. #1
    Sigmar

    Fonction Gamma d'Euler


    ------

    Dans l'énoncé de l'exo, je ne vois pas encore le rapport avec la dite fonction gamma d'euler, mais on me demande la chose suivante.

    ...........................n
    Soit Un=Somme(cos(kx))
    ..........................k=1
    Montrez qu'il existe deux rationnels A et B tels que :
    Un=A+B*sin[(2n+1)x/2]/sin(x/2)

    C'est pas gagné :/ (encore un coup de mon prof qui prend les élèves de prépa pour des personnes en licence).

    -----
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

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  3. #2
    jameso

    Re : Fonction Gamma d'Euler

    salut,
    essaye peut-être en utilisant:
    cos(k*x) =Re[exp(ikx)]

  4. #3
    Evil.Saien

    Re : Fonction Gamma d'Euler

    j'trouve que ca ressemble pas mal à la transformation en sinus de la fonction cos... Y'a peut-etre quelque chose a faire avec ca

  5. #4
    Sigmar

    Re : Fonction Gamma d'Euler

    J'ai trouvé ! (merci à tous)
    Humpf c'était vraiment pas évident (bon les 4h dessus aidant) :
    On considère la suite :
    Vn = 1+cos(x)+...cos(nx)=Un +1
    On a Vn=Re(1+exp(ix)+exp(i2x)+...+e xp(inx))
    (Vn suite réelle)
    On pose Wn=1+exp(ix)+exp(i2x)+...+exp( inx)
    (Wn suite complexe)
    Wn est une suite géométrique de raison exp(ix) de somme :

    S(Wn)=1-(exp(ix))^(n+1)/(1-exp(ix))
    en trifouillant grâce à une des formules d'Euler (encore lui !), qui est :
    e(ix)-e(-ix)=2i*sin(x/2)
    on obtient S(Wn)=exp(inx/2)*sin[(n+1)x/2]/sin(x/2)
    avec Vn=Re(Wn), on obtient Vn=cos(nx/2)*sin[(n+1)*x/2]/sin(x/2)
    et Un=Vn -1={cos(nx/2)*sin[(n+1)*x/2]-sin(x/2)}/sin(x/2)
    soit en utilisant sin(a)*cos(b)=1/2(sin(a+b)-sin(a-b)) le résultat voulu !
    Un=A+B*sin[(2n+1)x/2]/sin(x/2)
    avec A=-1/2 et B=1/2 !
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  6. #5
    martini_bird

    Re : Fonction Gamma d'Euler

    Salut,
    si je peux me permettre, retiens ce genre d'astuce, c'est très courant dans les épreuves de concours.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gnoki

    Re : Fonction Gamma d'Euler

    Pas besoin d'aller chercher si loin, je l'ai eu en DM, assez astucieux mais pas compliqué :
    s'intéresser au produit de sin(x/2) x somme de 1 à de cos(kx) ce qui revient à étudier (en rentrant le sin(x/2) dans la somme) : sin(x/2)x(cos(kx))=[sin(x(k+1/2)/2)xsin(x(k-1/2)/2)]/2 (par une formule de trigo)
    on a ensuite une somme télescopique
    et on obtient le résultat

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  10. #7
    breukin

    Re : Fonction Gamma d'Euler

    Donc effectivement il n'y a aucun rapport avec la fonction gamma d'Euler, mais simplement avec la formule d'Euler.
    Mais peut-être l'exercice a-t-il une suite ?

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