Inégalité/inéquation

**invite1237a629** · 05/03/2008, 07h35

Plop !

Grand débat interne : maths du collège, du lycée ou du supérieur ?

Eh bien, tout simplement, j'aimerais connaître la différence entre une inégalité et une inéquation...

Quel terme utiliser lorsqu'on veut résoudre un "machin" avec < ? Est-ce différent de lorsqu'on utilise le signe "différent" ?

Voili voilou, toute précision est la bienvenue ! (en plus de ces deux questions ^^)

Bonne journée

**God's Breath** · 05/03/2008, 07h58

Envoyé par MiMoiMolette

Plop !

Grand débat interne : maths du collège, du lycée ou du supérieur ?

Eh bien, tout simplement, j'aimerais connaître la différence entre une inégalité et une inéquation...

Quel terme utiliser lorsqu'on veut résoudre un "machin" avec < ? Est-ce différent de lorsqu'on utilise le signe "différent" ?

Voili voilou, toute précision est la bienvenue ! (en plus de ces deux questions ^^)

Bonne journée

Une inégalité est une formule mathématique, par exemple :
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

La première, la troisième et la cinquième sont vraies, la seconde et la quatrième sont fausse.

Une inéquation, c'est un problème à résoudre : étant donnée une inégalité qui contient des variables, déterminer pour quelles valeurs de ces variables cette inégalité est satisfaite.

Ce n'est pas vraiment très bien dit, mais c'est le principe.

invite986312212 · 05/03/2008, 09h21

attention au fait qu'en Anglais "equation" signifie aussi bien équation qu'égalité, et est employé en physique au sens de "loi" (Ohm's equation = loi d'Ohm par exemple).

**invite35452583** · 05/03/2008, 10h20

Pour moi et en ce qui concerne le français (il y a peut-être une langue où il y a trois, ou plus, mots différents, pas l'intention de tous les faire,

la remarque ou rappel d'Ambrosio n'est néanmoins pas inutile tant les textes en anglais sont courants

)
Inégalité : c'est une expression de la forme f(x_i)Rg(x_i), R étant une relation d'ordre ou une relation d'ordre à laquelle on retire la diagonale (ex : le "<" usuel dans R), (tous les x_i n'apparaissant pas nécessairement dans f ou dans g) et pour laquelle la plage de valeurs possibles pour les x_i est fixé, f(x_i) et g(x_i) peuvent n'avoir qu'une seule "valeur" possible. Celle-ci peut s'intégrer dans une proposition du type donné par God's Breath qui est soit vraie, soit fausse, soit indécidable (ex : $\text{[math]}$ dans ZFC).
Je diffère donc un peu de God's Breath (sans être sûr d'avoir raison néanmoins) : pour moi "ses" inégalités sont pour moi des propositions contenant une des "mes" inégalités.
Inéqua-tion : ques-tion
la question étant de la forme "pour quels x_i la proposition "pour la famille {x_i} f(x_i) R g(x_i)" est vraie ?"
Aucune différence, en tout cas je ne pense pas, avec God's Breath sur "inéquation" donc.
Guère de différence fondamentale avec résoudre un "machin" où il y a un "=/=" (sauf les règles opératoires évidemment qui peut être une différence importante en pratique), cela reste bien de la forme "pour quels x_i la proposition "pour la famille {x_i} f(x_i) R g(x_i)" est vraie ? " R="=/=" dans le second cas, pour une équation R="=".

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**God's Breath** · 05/03/2008, 12h01

Ma réponse du matin était assez gauchement formulée, la répose d'homotopie est beaucoup rigoureuse dans sa rédaction formelle, mais l'idée est la même :

La différence entre "inéquation" et inégalité" (de même qu'entre "équation" et "égalité d'ailleurs) est de l'ordre du langage dans lequel elle sont formulées.

L'inégalité est une formule du langage mathématique, en fait une formule atomique $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des termes de la théorie dans laquelle on travaille, et $\text{[math]}$ un symbole de prédicat d'arité 2 qui définit une relation d'ordre au sens large ou au sens strict.

L'inéquation est une formule du langage métamathématique qui pose une question à propos d'une inégalité.

invite15e03428 · 05/03/2008, 16h58

Je trouve la réponse de God'sBreath plus claire et bien formulée..l'exemple qui l'a donné suffit bien pour discerner la différence en tre les deux notions.

PS:

INÉQUATION, subst. fém.
MATH. Inégalité entre deux expressions algébriques, dépendant de certaines variables (ou inconnues).

INEGALITE: expression mathématique dans laquelle on compare deux quantités inégales. (Robert)

**invite35452583** · 05/03/2008, 19h41

Envoyé par God's Breath

La différence entre "inéquation" et inégalité" (de même qu'entre "équation" et "égalité d'ailleurs) est de l'ordre du langage dans lequel elle sont formulées.

L'inégalité est une formule du langage mathématique, en fait une formule atomique $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des termes de la théorie dans laquelle on travaille, et $\text{[math]}$ un symbole de prédicat d'arité 2 qui définit une relation d'ordre au sens large ou au sens strict.

L'inéquation est une formule du langage métamathématique qui pose une question à propos d'une inégalité.

Clair et condensé.

**invite1237a629** · 05/03/2008, 23h01

Plop !

Je ne fais pas de favoritisme

: je pense avoir bien compris les réponses de God's Breath mais moins celle d'homotopie. Par contre, ça m'intéresserait d'avoir des précisions sur certaines choses :

une relation d'ordre à laquelle on retire la diagonale

relation d'ordre, oki, diagonale ... ?

soit indécidable (ex : [formule tex] dans ZFC).

C'est quoi ces N bizarres ? Et ZFC ? (brièvement !)

Je diffère donc un peu de God's Breath (sans être sûr d'avoir raison néanmoins) : pour moi "ses" inégalités sont pour moi des propositions contenant une des "mes" inégalités.

Ca, bizarrement, je l'ai compris...ou je l'ai mal compris xD

Inéqua-tion : ques-tion

Beau résumé ^^

Merci pour les réponses, encore une fois

**Gwyddon** · 05/03/2008, 23h07

La diagonale d'une relation d'ordre est en fait l'égalité.

Dans une relation d'ordre tu as transitivité (xRy yRz -> xRz ), tu as réflexivité (xRx) et tu as antisymétrie ( xRy et yRx -> x=y )

Retirer la diagonale, c'est retirer la réflexivité.

Ensuite les "N bizarres" sont les cardinaux des ensembles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ respectivement

Enfin, ZFC = Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix, acronyme désignant la théorie des ensembles "standard" à laquelle on rajoute l'axiome du choix.

Cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie..._des_ensembles

**invite1237a629** · 05/03/2008, 23h17

Retirer la diagonale, c'est retirer la réflexivité.

Vi, j'ai vu ces propriétés des relations d'ordre, c'est plus clair now

Juste, quel est l'intérêt de retirer la diagonale ?

Comment déterminer le cardinal d'un ensemble infini ? oO

Mici pour le lien, j'irai voir le lien quand...je serai moins fatiguée, sorry

**God's Breath** · 05/03/2008, 23h45

Envoyé par MiMoiMolette

Vi, j'ai vu ces propriétés des relations d'ordre, c'est plus clair now

Juste, quel est l'intérêt de retirer la diagonale ?

Retire la diagonale permet de passer de la relation d'ordre à la relation stricte associée en supprimant le cas d'égalité. Cela permet de considérer aussi bien le problème
"Résoudre, dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ "
que le problème
"Résoudre, dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ "

Envoyé par MiMoiMolette

Comment déterminer le cardinal d'un ensemble infini ?

C'est un peu difficile.
On peut définir sur les ensembles finis, ou infinis, la relation "être équipotent" : deux ensembles sont équipotents lorsqu'ils existent une bijection de l'un dans l'autre?
On obtient ainsi une relation d'équivalence, le cardinal d'un ensemble est un élément distingué dans sa classe d'équivalence.

Le choix d'un tel cardinal ne pose aucun problème pour les ensembles finis.
Pour les ensembles infinis, on s'en sort facilement si l'on accepte l'axiome du choix (aui permet justement de choisir le cardinal dans la classe d'équivalence).
Si l'on n'accepte pas l'axiome du choix (ce qui ne veux pas dire qu'on le refuse, on peut très bien ne pas se prononcer, comme dans les sondages), la définition du cardinal est un peu plus délicate.

Les "n" bizarres, je suppose que ce sont les $\text{[math]}$ (ça se prononce aleph, c'est la première lettre de l'alphabet hébreu. C'est la désignation traditionnelle (avec un indice pour indiquer duquel on parle...) des cardinaux infinis. On peut les ranger en une suite strictement croissante.

Ainsi $\text{[math]}$ est le cardinal de $\text{[math]}$ , de $\text{[math]}$ , de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est le plus petit cardinal supérieur à $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ est le cardinal de $\text{[math]}$ , de $\text{[math]}$ , de $\text{[math]}$ , de $\text{[math]}$ , de l'ensemble des fonctions continues de $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .
La proposition $\text{[math]}$ est l'hypothèse du continu.

Note aux modérateurs : pourquoi la commande TEX \beth, également utilisée pour désigner des cardinaux, celui de $\text{[math]}$ en particulier, ne passe-t-elle pas sur le forum ?

**Médiat** · 06/03/2008, 03h49

Envoyé par God's Breath

Note aux modérateurs : pourquoi la commande TEX \beth, également utilisée pour désigner des cardinaux, celui de $\text{[math]}$ en particulier, ne passe-t-elle pas sur le forum ?

Je m'étais déjà préoccupé de cette oubli dans notre latex, mais on m'a suggéré d'écrire ב

**invite1237a629** · 06/03/2008, 07h30

Bon j'vais être franche : je n'ai pas compris grand-chose

Il faudrait d'abord que je comprenne l'axiome du choix en fait.

Je lirai le lien plus tard

Merci encore

**Médiat** · 06/03/2008, 08h21

Envoyé par MiMoiMolette

Il faudrait d'abord que je comprenne l'axiome du choix en fait.

L’axiome du choix est beaucoup plus simple qu’il n’y paraît :
Imaginons que tu aies une commode avec 3 tiroirs contenant chacun une paire de chaussettes, pour indiquer à une autre personne (un peu bête, tu dois lui dire quelle chaussette prendre, alors que tu t’en fous, sinon elle est incapable de prendre une décision) quelles sont les chaussettes que tu veux qu’elle t’apporte, à raison d’une par tiroir (et comme tu ne sais pas qui les a rangées, tu ne sais pas comment les chaussettes sont disposées dans le tiroir), tu peux dire, par exemple :

Tiroir du haut : celle avec un trou
Tiroir du milieu : celle qui est légèrement délavée
Tiroir du bas : celle dont l’élastique est détendu

Avec un nombre fini de tiroirs, tu trouveras toujours une façon de distinguer une chaussette parmi 2 (même s’il te faut un microscope et beaucoup de patience).
Si le problème se repose avec des gants, une solution plus simple consiste à dire « je veux les gants de la main gauche ».
Dans le cas infini, la solution pour des gants continue de marcher, par contre pour les chaussettes cela ne marche plus (il faudrait une infinité de phrases).
L’axiome du choix dit juste qu’il existe un appareil magique qui quand tu le mets dans un tiroir en prend une et la donne à ton collaborateur.

**God's Breath** · 06/03/2008, 21h12

Un exemple imaginaire, vu sur le forum, pour éclairer la différence entre "inéquation " et "inégalité.

Question posée :
On me demande de résoudre l'inéquation $\text{[math]}$ . Voilà ce que j'ai fait :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et j'ai fait un tableau de signe pour trouver les solutions.

Réponse : Dans la résolution de ton inéquation, il y a une erreur au second membre de l'avant-dernière inégalité.

Dans cette réponse, les mots inéquation et inégalité ne sont pas interchangeables, on ne peut pas dire
"Dans la résolution de ton inégalité, il y a une erreur au second membre de l'avant-dernière inéquation."

**invite1237a629** · 06/03/2008, 21h28

Envoyé par God's Breath

Un exemple imaginaire, vu sur le forum, pour éclairer la différence entre "inéquation " et "inégalité.

Question posée :
On me demande de résoudre l'inéquation $\text{[math]}$ . Voilà ce que j'ai fait :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et j'ai fait un tableau de signe pour trouver les solutions.

Réponse : Dans la résolution de ton inéquation, il y a une erreur au second membre de l'avant-dernière inégalité.

Dans cette réponse, les mots inéquation et inégalité ne sont pas interchangeables, on ne peut pas dire
"Dans la résolution de ton inégalité, il y a une erreur au second membre de l'avant-dernière inéquation."

L'inégalité est donc une expression que l'on affirme comme étant juste ou pas, alors que l'inéquation est, comme vous l'avez dit, une question, càd qu'on suppose que l'inégalité qu'on a sous les yeux est vraie (ou fausse) et qu'on regarde quelles sont les conditions pour qu'elle soit vraie (ou fausse) ?

(j'ai un peu compliqué le truc, la différence de base, je pense l'avoir comprise ^^)

Pour l'axiome du choix :

Je vois la différence entre le coup des chaussettes effilées, trouées etc et les gants gauches. Par contre, je ne vois pas ce que permet de faire l'appareil magique : c'est au niveau des chaussettes ou des gants qu'il fait des prouesses ? À quoi cela sert-il concrètement ? J'ai du mal à voir pourquoi on a besoin d'observer au microscope ? Désolée, j'ai peut-être mal lu/compris ton raisonnement, Médiat, une précision aiderait peut-être ?

(je me suis pris des bouquins de logique, je compte bien en apprendre plus sur tous ces rouages

)

Merci encore

**martini_bird** · 06/03/2008, 21h44

Envoyé par MiMoiMolette

Pour l'axiome du choix :

Je vois la différence entre le coup des chaussettes effilées, trouées etc et les gants gauches. Par contre, je ne vois pas ce que permet de faire l'appareil magique : c'est au niveau des chaussettes ou des gants qu'il fait des prouesses ? À quoi cela sert-il concrètement ? J'ai du mal à voir pourquoi on a besoin d'observer au microscope ? Désolée, j'ai peut-être mal lu/compris ton raisonnement, Médiat, une précision aiderait peut-être ?

(je me suis pris des bouquins de logique, je compte bien en apprendre plus sur tous ces rouages

)

Salut,

la difficulté vient de ce que lorsqu'on doit choisir entre des chaussettes, on ne dispose pas de fonction de choix, alors que pour des gants ou des chaussures, on peut choisir l'objet "droit" par exemple.
La conséquence de tout ça est que l'axiome du choix permet l'existence d'objets que l'on ne peut pas forcément construire explicitement. Tu peux regarder par exemple le découpage particulier de la sphère dans le paradoxe de Banach-Tarski, ou encore comment l'on montre qu'il existe des ensembles non Lebesgue-mesurables, etc.

A noter que chaque fois que l'on peut se passer de l'axiome du choix, il est intéressant du point de vue théorique de le faire (existence d'une clôture algébrique pour les corps finis, théorème de Tychonoff pour un produit dénombrable, etc.).

Cordialement.

**Médiat** · 07/03/2008, 04h29

Envoyé par MiMoiMolette

Par contre, je ne vois pas ce que permet de faire l'appareil magique : c'est au niveau des chaussettes ou des gants qu'il fait des prouesses ? À quoi cela sert-il concrètement ? J'ai du mal à voir pourquoi on a besoin d'observer au microscope ?

Pour compléter un peu ce qu'a écrit martini_bird :

L'appareil magique n'est utile que pour les chaussettes, puisque pour les gants on a une autre solution ("Prends systématiquement le gauche").
Concrétement il sert à faire le choix que tu ne sais pas faire sans lui
Pour le microscope, c'était une boutade, si au lieu de 3 tiroirs il y en avait 32 157 484 357 4632 455 534, tu aurais peut-être du mal à trouver des descriptions macroscopiques pour différencier les chaussettes dans chacun des tiroirs

**invite1237a629** · 07/03/2008, 07h36

Oki, c'est déjà beaucoup plus clair au niveau de ce que permet l'axiome du choix

Mais je ne vois toujours pas dans quels cas on pourrait avoir besoin de l'axiome du choix, pourquoi doit-on parfois s'en servir pour choisir quelque chose -> applications pratiques (avec des termes compréhensibles pour une inculturée

)

Banach-Tarski
ensembles non Lebesgue-mesurables

Inconnus au bataillon, sauf Tarski('s world)

Z'auriez une bonne référence d'un bouquin qui traiterait de tout ça ? ^^

**Médiat** · 07/03/2008, 07h41

Envoyé par MiMoiMolette

Mais je ne vois toujours pas dans quels cas on pourrait avoir besoin de l'axiome du choix, pourquoi doit-on parfois s'en servir pour choisir quelque chose -> applications pratiques (avec des termes compréhensibles pour une inculturée

)

Pour choisir une chaussette dans une infinité de tiroirs, ou pour démontrer le lemme de Baire, le théorème de la base incomplète dans les EV de dimension infinie, l'existence de la clôture algébrique d'un corps, une "bonne" définition des cardinaux, etc.

http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap4.pdf

**Gwyddon** · 07/03/2008, 08h00

Euh Médiat tu parles de trucs niveau L3 voire M1

**Médiat** · 07/03/2008, 08h06

Envoyé par Gwyddon

Euh Médiat tu parles de trucs niveau L3 voire M1

Ah bon, on ne porte pas de chaussettes avant L3 ?

Plus sérieusement, je ne connais pas d'exemple où AC est explicitement nécessaire et qui soit basique, désolé...

**invite1237a629** · 07/03/2008, 08h07

Oé et je ne suis qu'en L2 moi

Par contre, le lien est assez intéressant ! Mais je préfèrerais un livre (le toucher du papier, les yeux qui s'usent sur l'écriture, la coupure en tournant les pages... un vrai bonheur

) qui traiterait de tout cela : (la logique, l'axiome du choix, la logique, l'axiome du choix,...)ⁿ -> c'est là qu'il me faudrait l'axiome du choix : lequel choisir ???

Mais merci à tous, j'ai tout compris dans l'histoire des chaussettes et des gants !
et je sais que je me contenterai de rester chez moi si j'ai froid xD

Envoyé par Médiat

Ah bon, on ne porte pas de chaussettes avant L3 ?

Plus sérieusement, je ne connais pas d'exemple où AC est explicitement nécessaire et qui soit basique, désolé...

Quelque chose qui l'aborde en douceur conviendra ! ^^ (mais bon, quand on parle de chaussettes, on ne pense pas à l'Air Conditionné...)

**God's Breath** · 07/03/2008, 08h21

Envoyé par Gwyddon

Euh Médiat tu parles de trucs niveau L3 voire M1

En même temps, les situations étudiées jusqu'au bac ne sont pas vraiment propices à l'illustration de l'axiome du choix.

Il me semble que l'exemple de l'existence de bases dans tout espace-vectoriel est un bon exemple.

**Médiat** · 07/03/2008, 08h23

Envoyé par MiMoiMolette

Mais je préfèrerais un livre (le toucher du papier, les yeux qui s'usent sur l'écriture, la coupure en tournant les pages... un vrai bonheur

) qui traiterait de tout cela : (la logique, l'axiome du choix, la logique, l'axiome du choix,...)ⁿ -> c'est là qu'il me faudrait l'axiome du choix : lequel choisir ???

"Théorie axiomatique des ensembles" de Krivine (l'un des 3 frères), mon exemplaire date de 72, et il m'arrive encore de le reprendre de temps en temps (nostalgie, vous avez dit nostalgie ?)

**Gwyddon** · 07/03/2008, 08h27

Envoyé par Médiat

"Théorie axiomatique des ensembles" de Krivine (l'un des 3 frères), mon exemplaire date de 72, et il m'arrive encore de le reprendre de temps en temps (nostalgie, vous avez dit nostalgie ?)

Lequel des Krivine ? Hubert le physicien ??

**invite1237a629** · 07/03/2008, 08h27

Envoyé par Médiat

"Théorie axiomatique des ensembles" de Krivine (l'un des 3 frères), mon exemplaire date de 72, et il m'arrive encore de le reprendre de temps en temps (nostalgie, vous avez dit nostalgie ?)

90.4 à Paris

Ok, j'irai voir...j'espère qu'ils l'ont à la bibliothèque !

@ God's Breath : YUCK ! De l'algèbre

@ Médiat : est-ce celui-ci ?

Théorie des ensembles -- Jean-Louis Krivine

**Médiat** · 07/03/2008, 08h29

Envoyé par Gwyddon

Lequel des Krivine ? Hubert le physicien ??

Arrgghhhhh il y en a un quatrième ?
Je ne connais que le logicien (Jean Louis), le politique (Alain) et le musicien (Emmanuel) qui sont frères...

**Gwyddon** · 07/03/2008, 08h31

Envoyé par God's Breath

En même temps, les situations étudiées jusqu'au bac ne sont pas vraiment propices à l'illustration de l'axiome du choix.

Il me semble que l'exemple de l'existence de bases dans tout espace-vectoriel est un bon exemple.

En effet. Ou l'existence d'idéaux maximaux au sens de l'inclusion dans un anneau aussi

**Gwyddon** · 07/03/2008, 08h34

Envoyé par Médiat

Arrgghhhhh il y en a un quatrième ?
Je ne connais que le logicien, le politique et le musicien qui sont frères...

Il a même écrit un bouquin de maths pour physiciens

http://www.mollat.com/livres/krivine...842250379.aspx

Inégalité/inéquation

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Re : Inégalité/inéquation

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