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Etude des triplets pythagoriciens primitifs



  1. #1
    bubbleseb

    Etude des triplets pythagoriciens primitifs


    ------

    Bonjour à tous,

    Voilà plusieurs heures que j'essaye de trouver une démonstration mais je bute.

    Soient X, Y, Z trois entiers naturels non nuls premiers entre eux, tels que X²+Y²=Z². Montrer qu'il existe un entier A tel que A² égale Z-X ou Z-Y.

    Merci d'avance pour votre aide,
    Sébastien

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Citation Envoyé par bubbleseb Voir le message
    Soient X, Y, Z trois entiers naturels non nuls premiers entre eux, tels que X2+Y2=Z2. Montrer qu'il existe un entier A tel que A2 égale Z-X ou Z-Y.
    Il faut commencer par montrer que est impair, et que et sont, l'un pair, l'autre impair.
    Si est pair, on écrit .
    On utilise alors le fait que et sont premiers entre eux pour montrer qu'ils sont carrés parfaits.

  4. #3
    bubbleseb

    Lightbulb Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Merci God's Breath , du coup voici ma réponse :

    1) Montrons que X et Y n'ont pas la même parité.

    Si X et Y étaient pairs tous les deux, alors leur PGCD serait multiple de 2 et donc ils ne seraient pas premiers entre eux : ça serait contraire à l'hypothese de départ !

    Supposons que X et Y soient tous les deux impairs.

    a) Alors X² et Y² sont impairs et Z² est donc pair (somme de deux impairs). Si Z² est pair, c’est que Z est aussi pair.

    b) Les restes possibles modulo 4 sont : 0, 1, 2 ou 3.
    Mais si X = 0 [4] alors 4 / X : c'est impossible car X est impair !

    Si X = 2 [4] alors X = 4k+2 avec k entier : c'est impossible car X est impair !
    Il en est de même pour Y.
    Ainsi les restes possibles de X et Y modulo 4 sont 1 ou 3.

    c) Si X = 1 [4] alors X² = 1 [4] (de même si Y = 1 [4]).
    Si X = 3 [4] alors X² = 1 [4] (de même si Y = 3 [4]).
    Dans tous les cas, X² et Y² sont tous les deux congrus à 1 modulo 4.
    Ainsi Z² = 2 [4] ( X²+Y²=Z²).

    d) Mais comme Z est pair, 2 / Z et donc 4 / Z² et donc Z² = 0 [4].

    Les conclusions de c) et d) sont contradictoires donc l’hypothèse de départ ( X et Y impairs ) est absurde.

    Ainsi parmi X et Y, l’un des deux est pair et l’autre impair.

    2) Montrons que Z est impair.

    Si X et Y n'ont pas la même parité, alors X²+Y² est impair. Z² est donc impair. Z est donc impair.

    3) Supposons X pair et Y impair. Par définition de X et Y, PGCD(X,Y)=1. Montrons d'abord que Z-X et Z+X sont premiers entre eux.

    Montrons-le par l'absurde.
    Si d est un diviseur premier commun à Z + X et Z - X, alors d divise 2Z et 2X (par addition et soustraction).
    Si d divisait 2, alors d serait égal à 2 : c'est impossible, car vu la parité distincte de X et Z, Z + X et Z - X sont impairs. Donc d'après le théorème de Gauss, d divise X et d divise Z. Or X et Z sont premiers entre eux, on en conclut donc que Z-X et Z+X sont premiers entre eux.

    4) On a donc PGCD(Z-X,Z+X) = 1.
    et (Z-X)(Z+X)=Z²-X²=Y².

    L'entier Y se décompose en un produit de facteurs premiers. Par suite, Y² est un produit de facteurs premiers dont les exposants sont pairs. Puisque (Z-X)(Z+X) = Y², les diviseurs premiers de Z-X et Z+X sont extraits de ceux de Y. Soit d un diviseur premier de Y, apparaissant, dans Y², sous la forme d^(2n). Il ne peut diviser à la fois Z-X et Z+X.

    D'après le théorème de Gauss, si d divise Z-X, alors d^(2n), qui divise Y², divise nécessairement Z-X. Donc, par épuisement des cas, Z-X est un carré (et on obtient que Z+X est un carré).

    Il existe donc un entier A tel que A² égale Z-X (et un entier B tel que B² égale Z+X).

    5) Si l'on prend X impair et Y pair, on montre de manière analogue au 3) et 4) qu'il existe A tel que A²=Z-Y (et B tel que B²=Z+Y).

    Je sèche à présent sur la méthode pour les questions suivantes de mon exercice :
    - Montrer qu'il existe un entier C tel que XY=3*C.
    - Montrer qu'il existe un entier D tel que XY=4*D.
    - Montrer qu'il existe un entier E tel qu XY(X+Y)(X-Y)=7*E.
    Quelqu'un peut m'aider ? Encore merci !

  5. #4
    God's Breath

    Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Citation Envoyé par bubbleseb Voir le message
    Je sèche à présent sur la méthode pour les questions suivantes de mon exercice :
    - Montrer qu'il existe un entier C tel que XY=3*C.
    - Montrer qu'il existe un entier D tel que XY=4*D.
    - Montrer qu'il existe un entier E tel qu XY(X+Y)(X-Y)=7*E.
    Quelqu'un peut m'aider ? Encore merci !
    Pour l'existence de C, étudie toutes les congruences possibles de X et Y modulo 3.
    Pour l'existence de D, étudie toutes les congruences possibles de X et Y modulo 8.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    bubbleseb

    Lightbulb Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Montrer qu'il existe un entier C tel que XY=3*C.

    On a Z²=X²+Y². Il y a 9 possibilités au regard de la congruence de X et Y modulo 3.

    a) Si X=0 [3] et Y=0 [3], alors X²=0 [3] et Y²=0 [3], d'où Z²=0 [3].
    b) Si X=0 [3] et Y=1 [3], alors X²=0 [3] et Y²=1 [3], d'où Z²=1 [3].
    c) Si X=0 [3] et Y=2 [3], alors X²=0 [3] et Y²=1 [3], d'où Z²=1 [3].
    d) Si X=1 [3] et Y=0 [3], alors X²=1 [3] et Y²=0 [3], d'où Z²=1 [3].
    e) Si X=1 [3] et Y=1 [3], alors X²=1 [3] et Y²=1 [3], d'où Z²=2 [3].
    f) Si X=1 [3] et Y=2 [3], alors X²=1 [3] et Y²=1 [3], d'où Z²=2 [3].
    g) Si X=2 [3] et Y=0 [3], alors X²=1 [3] et Y²=0 [3], d'où Z²=1 [3].
    h) Si X=2 [3] et Y=1 [3], alors X²=1 [3] et Y²=1 [3], d'où Z²=2 [3].
    i) Si X=2 [3] et Y=2 [3], alors X²=1 [3] et Y²=1 [3], d'où Z²=2 [3].

    Utilisons la propriété suivante : pour tous entiers naturels a, b, m et n, si a=b [m], alors a^n=b^n [m].
    Si Z=0 [3], alors Z²=0 [3]. Si Z=1 [3], alors Z²=1 [3]. Si Z=2 [3], alors Z²=4=1 [3].
    Donc pour tout entier Z, Z² ne peut être congru qu'à 0 ou à 1 modulo 3.
    Aucun des 4 cas e) f) h) i) n'est donc possible.

    Le cas a) n'est pas non plus possible car X et Y sont premiers entre eux : par définition, ils ne sont pas tous deux divisibles par 3.

    Dans les 4 autres cas b) c) d) g) on observe que l'on a toujours X=0 [3] ou Y=0 [3]. D'où XY=0 [3].
    Il existe donc un entier C tel que XY=3*C.

    Montrer qu'il existe un entier D tel que XY=4*D.

    Étudions toutes les possibilités au regard de la congruence modulo 8 d'un entier au carré.

    Si X=0 [8] alors X²=0 [8].
    Si X=1 [8] alors X²=1 [8].
    Si X=2 [8] alors X²=4 [8].
    Si X=3 [8] alors X²=1 [8].
    Si X=4 [8] alors X²=0 [8].
    Si X=5 [8] alors X²=1 [8].
    Si X=6 [8] alors X²=4 [8].
    Si X=7 [8] alors X²=1 [8].

    On voit donc qu'un nombre entier au carré ne peut être congru qu'à 0, 1 ou 4 modulo 8.
    Donc X²+Y²=Z² ne peut être congru qu'à 0, 1, 4. C'est le cas uniquement si :
    a) X=0 [8], quel que soit Y
    b) X=4 [8], quel que soit Y
    c) Y=0 [8], quel que soit X
    d) Y=4 [8], quel que soit X
    e) X=2 [8] et Y=2 [8]
    f) X=2 [8] et Y=6 [8]
    g) X=6 [8] et Y=2 [8]
    h) X=6 [8] et Y=6 [8]
    Dans tous les autres cas (pour le vérifier, faire une disjonction des cas de la même manière que dans la question précédente), on trouve Z²=2 [8] ou Z²=5 [8], ce qui n'est pas possible.

    Les cas e) f) g) et h) impliquent que X et Y sont pairs tous les deux. Or on a démontré précédemment que X et Y n'ont pas la même parité.
    Pour les 4 autres cas a) b) c) et d) :
    - cas a) : X=0 [8] d'où X=8k avec k entier, d'où X=2*4*k=4*(2k) : X=0 [4]
    - cas b) : X=4 [8] d'où X=8k+4 avec k entier d'où X=4(2k+1) : X=0 [4]
    - cas c) : Y=0 [8] d'où Y=8k avec k entier, d'où Y=2*4*k=4*(2k) : Y=0 [4]
    - cas d) : Y=4 [8] d'où Y=8k+4 avec k entier d'où Y=4(2k+1) : Y=0 [4]

    Ainsi, on a toujours X=0 [4] ou Y=0 [4]. D'où XY=0 [4].
    Il existe donc un entier D tel que XY=4*D.

    Merci encore à toi
    Est ce que tu aurais une dernière piste pour montrer :
    - qu'il existe un entier E tel qu XY(X+Y)(X-Y)=7*E ?
    - qu'il existe un entier F tel que XYZ=5*F ?

  8. #6
    God's Breath

    Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Citation Envoyé par bubbleseb Voir le message
    Est ce que tu aurais une dernière piste pour montrer :
    - qu'il existe un entier E tel qu XY(X+Y)(X-Y)=7*E ?
    - qu'il existe un entier F tel que XYZ=5*F ?
    A priori, il faut étudier maintenant des congruences modulo 7 et modulo 5.

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  10. #7
    bubbleseb

    Lightbulb Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Un grand merci

    Montrer qu'il existe un entier E tel que XYZ=5*E.

    Si X=0 [5] alors X²=0 [5].
    Si X=1 [5] alors X²=1 [5].
    Si X=2 [5] alors X²=4 [5].
    Si X=3 [5] alors X²=4 [5].
    Si X=4 [5] alors X²=1 [5].

    On voit donc qu'un nombre entier au carré ne peut être congru qu'à 0, 1 ou 4 modulo 5.
    Donc X²+Y²=Z² ne peut être congru qu'à 0, 1, 4. C'est le cas uniquement si :
    a) X=0 [5], quel que soit Y
    b) Y=0 [5], quel que soit X
    c) X=1 [5] et Y=2 [5]
    d) X=1 [5] et Y=3 [5]
    e) X=2 [5] et Y=1 [5]
    f) X=2 [5] et Y=4 [5]
    g) X=3 [5] et Y=1 [5]
    h) X=3 [5] et Y=4 [5]
    i) X=4 [5] et Y=2 [5]
    j) X=4 [5] et Y=3 [5]
    Dans tous les autres cas (pour le vérifier, faire une disjonction des cas de la même manière que dans la question 3), on trouve Z²=2 [5] ou Z²=3 [5], ce qui n'est pas possible.

    Étudions chacun de ces cas :
    - cas a): X=0 [5]
    - cas b): Y=0 [5]
    - cas c) : on a Z²=1+4=5=0 [5]
    On peut remarquer que pour tout entier X, si X n'est pas congru à 0 modulo 5, alors X² ne l'est pas non plus ; par contraposée, si X² est congru à 0 modulo 5, alors X l'est.
    Vu que Z²=0 [5], alors on a Z=0 [5].
    - cas d) : on a Z²=1+4=5=0 [5], d'où Z=0[5]
    - cas e) : on a Z²=4+1=5=0 [5], d'où Z=0[5]
    - cas f) : on a Z²=4+1=5=0 [5], d'où Z=0[5]
    - cas g) : on a Z²=4+1=5=0 [5], d'où Z=0[5]
    - cas h) : on a Z²=4+1=5=0 [5], d'où Z=0[5]
    - cas i) : on a Z²=1+4=5=0 [5], d'où Z=0[5]
    - cas j) : on a Z²=1+4=5=0 [5], d'où Z=0[5]

    Ainsi, on a toujours X=0 [4] ou Y=0 [4] ou Z=0 [5]. D'où XYZ=0 [5].

    Il existe donc un entier E tel que XYZ=5*E.

    Montrer qu'il existe un entier F tel qu XY(X+Y)(X-Y)=7*F.

    Si X=0 [7] alors X²=0 [7].
    Si X=1 [7] alors X²=1 [7].
    Si X=2 [7] alors X²=4 [7].
    Si X=3 [7] alors X²=2 [7].
    Si X=4 [7] alors X²=2 [7].
    Si X=5 [7] alors X²=4 [7].
    Si X=6 [7] alors X²=1 [7].

    On voit donc qu'un nombre entier au carré ne peut être congru qu'à 0, 1, 2 ou 4 modulo 7.
    Donc X²+Y²=Z² ne peut être congru qu'à 0, 1, 2 ou 4. C'est le cas uniquement si :
    a) X=0 [7], quel que soit Y
    b) Y=0 [7], quel que soit X
    c) X=1 [7], Y=1 [7]
    d) X=1 [7], Y=6 [7]
    e) X=2 [7], Y=2 [7]
    f) X=2 [7], Y=5 [7]
    g) X=3 [7], Y=3 [7]
    h) X=3 [7], Y=4 [7]
    i) X=4 [7], Y=3 [7]
    j) X=4 [7], Y=4 [7]
    k) X=5 [7], Y=2 [7]
    l) X=6 [7], Y=1 [7]
    Dans tous les autres cas (pour le vérifier, faire une disjonction des cas de la même manière que dans la question 3), on trouve Z²=3 [7], Z²=5 [7] ou Z²=6 [7], ce qui n'est pas possible.

    Étudions chacun des cas :
    - cas a) : X=0 [7]
    - cas b) : Y=0 [7]
    - cas c) : X-Y=0 [7]
    - cas d) : X+Y=0 [7]
    - cas e) : X-Y=0 [7]
    - cas f) : X+Y=0 [7]
    - cas g) : X-Y=0 [7]
    - cas h) : X+Y=0 [7]
    - cas i) : X+Y=0 [7]
    - cas j) : X-Y=0 [7]
    - cas k) : X+Y=0 [7]
    - cas l) : X+Y=0 [7]

    Ainsi, on a toujours X=0 [7] ou Y=0 [7] ou X+Y=0 [7] ou X-Y=0 [7] . D'où XY(X+Y)(X-Y)=0 [7].
    Il existe donc un entier F tel qu XY(X+Y)(X-Y)=7*F.

  11. #8
    God's Breath

    Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    C'est en effet aussi "simple" que cela.

  12. #9
    bubbleseb

    Question Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Il y a quand même quelque chose qui m'échappe !
    Quand je regarde les triplets pythagoriciens (qu'ils soient primitifs ou pas), je remarque qu'on a toujours X ou Y multiple de 4 (parfois même les 2, pour certains triplets non primitifs (exemple : 12²+16²=20²)).

    Pourtant dans ma démonstration (qu'il existe un entier D tel que XY=4*D), j'utilise le fait que le triplet est primitif ("Les cas e) f) g) et h) impliquent que X et Y sont pairs tous les deux. Or on a démontré précédemment que X et Y n'ont pas la même parité. Ces 4 cas sont donc impossibles."). (Cette différence de parité résultant directement du fait que le triplet est primitif). Or on a toujours X multiple de 4 ou Y multiple de 4, et ce même si le triplet est non primitif.

    Donc comment démontrer qu'il existe un entier D tel que XY=4*D, sans utiliser que le triplet est primitif (donc sans supposer que X et Y n'ont pas la même parité) ? ou alors que changer dans ma démonstration ?

  13. #10
    God's Breath

    Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Si le triplet est non primitif, on a , où est le pgcd de , , et où le triplet est primitif.
    Donc est multiple de 4.

  14. #11
    bubbleseb

    Thumbs up Re : Etude des triplets pythagoriciens primitifs

    Lol tout va bien alors...je vais enfin pouvoir me coucher l'esprit tranquille

    Voici l'énoncé complet si certains sont aussi intéressés (la soluce étant donnée au fur et à mesure de ce topic)...

    Bonne nuit

    Soit X, Y, Z trois entiers naturels non nuls premiers entre eux, tels que X²+Y²=Z².
    1/ Montrer que Z est impair.
    2/ Montrer qu'il existe un entier
    * A tel que A² égale Z-X ou Z-Y
    * B tel que B² égale Z+X ou Z+Y
    3/ Montrer qu'il existe un entier C tel que XY=3*C.
    4/ Montrer qu'il existe un entier D tel que XY=4*D.
    5/ Montrer qu'il existe un entier E tel que XYZ=5*E.
    6/ Montrer qu'il existe un entier F tel que XY=6*F.
    7/ Montrer qu'il existe un entier G tel qu XY(X+Y)(X-Y)=7*G.

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