Question sur "Groupe, Anneau et Corps"

[invited927d23c]

Bonjour,

J'ai 2 exercices à faire ou j'ai des doutes sur 2-3 questions. Voici l'énoncé (en abrég&#233 :

Exercice 1:

On considère le triangle équilatéral ABC.

1) Déterminez l'ensemble Iabc des isométries laissant le triangle invariant.

2) Etablir la table de la loi de composition o des applications dans Iabc.

3) En déduire que (Iabc,o) est un groupe non-commutatif.

Mon problème : comment démontrez que la loi o est associative? Je suppose que pour l'élément symétrique et l'élément neutre il faut écrire tous les cas?

Merci pour votre aide
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[invited927d23c]

Exercice 2 :

Soit le corps des nombres réels et (D) l'ensemble R² des couples (x,y) de nombres réels munis de l'addition et de la multiplication suivantes :


Démontrer que (D,+,x) est un anneau commutatif unitaire.
On note D1 l'ensemble des duaux (x,0) et D2 l'ensemble des duaux (0,y).

1) Démontrez que D1 est un sous-anneau de (D,+,x)
2) D2 est-il un sous-anneau de (D,+,x)?
3) (D) est-il un corps?

Pour la question 2 je trouve que D2 est un sous-anneau, de D, alors qu'il n'y a pas "Démontrez que", ce qui m'irrite un peu.

Pour la 3 il faut que (D*,x) soit un corps, mais qu'est ce que c'est que D*? Est-ce (R*)x(R*)? Si oui alors D n'ets pas un corps car l'élément neutre de x est (1,0) ce qui serait impossible?

Merci

[invited927d23c]

Question urgente :
-Si D est un anneau commutatif unitaire, est ce que pour que D2 soit un sous anneau de D, D2 doit être un anneau commutatif unitaire? ou est-ce qu'il suffit que D2 soit un anneau?

Je ne trouve pas de réponse à ma question sur internet.

Merci pour toute aide.

[invite6b1e2c2e]

o est une loi associative par définition. Il n'y a pas de problème de ce coté là. Pour l'élément symétrique, tu n'as pas besoin de l'exhiber. Je parie qu'il est plutot facile de démontrer qu'une transformation bijective qui laisse invariant un certain nombre de points a une application réciproque qui vérifie aussi sa propriété.
Au fait, je pense que ton groupe est isomorphe au groupe des permutations à 3 éléments

Pour ton deuxième exo, une petite indication : Un sous anneau possède toujours l'unité du gros anneau.

Enfin, tu peux démontrer facilement qu'un sous anneau d'un anneau commutatif est forcément un sous anneau commutatif.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited927d23c]

Merci pour ces informations rvz.

Est ce que tu pourrais me dire si D est un corps? Car il faut que D sauf 0 muni de x soit un groupe. Mais qu'est ce qu'est D sauf 0 pour des couples?

Merci pour votre aide, c'est mon dernier petit problème.

[invite6b1e2c2e]

Oups, j'avais pas lu ton post jusqu'à la fin !

C'est D privé de son élément neutre pour l'addition, ici, c'est (0,0).
Au fait, tu peux me tutoyer...
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rvz

[invited927d23c]

Merci encore pour ton premier post, qui m'a beaucoup avance (après l'avoir relu 5 fois).

Alors D est un corps? J'ai du mal, car à la première conclusion je disais que s'en est pas 1, mais c'est faux.

[invited927d23c]

Finalement je dis que D n'est pas un corps car pour que tous élément de (D-(0,0),x) ait un symétrique, il faut que x soit différent de 0, ce qui n'est pas garanti.

[invite6b1e2c2e]

Quand tu regardes ta loi *, si tu cherches (x,y) tel que ce soit l'inverse de (a,b) <> (0,0).
Alors tu peux prendre
x = 1/a
y = -b/a^2.

Donc c'est un corps.

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rvz

[invited927d23c]

Oui mais a doit être différent de 0, ce qui n'est pas le cas de tous les duaux. Et donc les duaux de la forme (0,b) n'auront pas de symétrique. Et donc ce n'ets oas un corps.

[invited927d23c]

Est-ce que D est un corps si tous les couples de la forme (0,y) n'ont pas de symétrique?

Moi je dirait que non.

Merci pour une confirmation.

[invite6b1e2c2e]

Oui pardon, tu as tout à fait raison. Ce n'est pas un corps.

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rvz