convergence faible ou forte dans hilbert

[invite10c0f164]

Bonjour,
dans un espace de Hilbert, la convergence faible n'implique pas forcément la convergence forte (ie en norme). Pouriez vous m'en donner un exemple pour me fixer les idées?

Si j'ai une suite convergeante faiblement vers 0, converge-t-elle fortement vers 0?

Et si elle est bornée?

Et si elle est de norme constante?
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[Garf]

Un exemple classique est celui de , l'espace des suites réelles de carré sommable. On le munit du produit scalaire .

Considérons la suite de suite , où, pour tout entiers naturels et , vaut si , sinon.

Cette suite est bornée dans , car de norme constante égale à .

Soit un élément de . tend vers quand tend vers . Autrement dit, la suite tend faiblement vers . Or, étant non nulle et de norme constante, elle ne tend pas fortement vers 0.

[invite10c0f164]

Merci, c'est éclairant.
Pour replacer cela dans le cadre du problème que je cherche
(opérateur compact autoadjoint=opérateur de Hilbert-Schmidt):

Pour montrer que T:H->H compact autoadjoint est diagonalisable,
je me suis ramené à T supposé sans valeurs propres
(car F:=somme direct des espaces propres est stable, aisi que son orthogonale)
(*)
On m'indique d'observer alors le sup du quotient de Rayleight sur l'ensemble des vecteurs de norme 1 (je noterai S la sphère unité):
M:= Sup(<T(x),x>) sur S.

En extrayant d'une suite de S tq <T(xn),xn> tend vers M une suite yn tq T(yn) converge en norme et yn converge simplement vers un y.

Jusqu'ici pas de problème avec le procédé de diagonalisation de Cantor.

J'ai bien alors T(y)=lim(T(yn)) et aussi donc <T(yn),yn> tend vers <T(y),y>.

Et là il me faut <T(y),y>=M pas de problème!
Mais aussi ||y||=1 je peux déduire M.||y||² >ou= M de <T(y),y>=M
mais comment continuer car si y=0 alors M=0 et je n'arrive pas à ||y||>ou=1

Faut-il alors faire le même raisonement en remplaçant T par -T à partir de (*)

[invite10c0f164]

Bon, j'ai trouvé, la réponse et oui

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