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La notion de 2-catégorie.

  1. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    71

    La notion de 2-catégorie.

    Bonsoir à tous,

    Je suis entrain d'apprendre la notion de -catégories, et sans perdre du temps, je vous rédiges directement la définition :

    Définition :
    A -category consists of a set of objects, equiped with categories for each .
    For each has a distinguished identity object , and for all we have a composition funtor :
    satisfying :
    - For all we have :
    - for all , and :
    for all
    Finally, we require the middle interchange condition :
    - If , and we have arrows of , and arrows of
    ( so are objects, are -morphisms, and : are -morphisms ), then we have : .


    Exemples :

    - The canonical example of a -category is the -category of categories. Here, the objects are categories, the -morphisms are functors, and the -morphisms are natural transformations.
    - Another example of a -category is the -category whose objects are topological spaces, whose -morphisms are maps between them, and whose -morphisms are homotopies between these mpas, modulo reparametrization.


    Questions :

    Cette notion de -categorie m'est un peu difficile à appréhender. C'est la première fois que je la découvre, alors, je n'arrive pas à la
    comprendre. Je vais l'utiliser dans la suite du cours pour définir ce que sont : A fibred category, a moduli problem, et a modui stack qui fait
    l'objet de tout le cours. Alors, comment faire pour discerner entre : qui sont des -morphisms, et qui sont des -morphisms. Quel lien existe-il entre ces trois classes d'objets . Selon vous, de quelle manière peut-on réussir à visualiser et saisir
    facilement cette notion de -catégorie ?

    Merci d'avance.

    -----

     


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  2. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    71

    Re : La notion de 2-catégorie.

    Svp, j'ai posté dans le mauvais endroit, veuillez déplacer ce fil dans la section : Mathématique supérieur.
    Merci.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 25/06/2017 à 02h31.
     

  3. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 032

    Re : La notion de 2-catégorie.

    je cois qu'il y'a un lien avec la catégorie Tophom (passage au quotient)
    http://www.univ-orleans.fr/mapmo/mem.../homotopie.pdf

    je débute, je fait des liens partout et je ramasse tous pour délier mon abstraction .
     

  4. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    71

    Re : La notion de 2-catégorie.

    D'accord azizovsky. Merci pour l’intérêt que tu portes au sujet.
    Y'a-t-il quelqu'un pour m'aider dans les questions que j'ai posé ?
    Merci d'avance.
     

  5. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 032

    Re : La notion de 2-catégorie.

    est ce que t'a déjà consulté: https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%C3%A9gorie ?
     


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  6. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 032

    Re : La notion de 2-catégorie.

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    .

    .
    j'ai un doute sur la façon d'écrire la formule (), car sur wiki, il y'a inversion : , même chose dans la catégorie Tophom si on remplace dans https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%...on_letters.svg. par les homotopies , on a la composition (ma façon de voir):
    le couple et puisque on peut trouver une application (homotopie) qui regroupe (voir démonstration de la transitivité de la relation d'équivalence), on'a (c'est comme on'a un foncteur 'classifiant').
     

  7. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    71

    Re : La notion de 2-catégorie.

    Merci, mais je n'ai pas compris grand chose à la définition :

    Définition :
    A -category consists of a set of objects, equiped with categories for each .
    For each has a distinguished identity object , and for all we have a composition funtor :
    satisfying :
    - For all we have :
    - for all , and :
    for all
    Finally, we require the middle interchange condition :
    - If , and we have arrows of , and arrows of
    ( so are objects, are -morphisms, and : are -morphisms ), then we have : .

    Je suis maintenant familier avec ces objets, mais je ne comprends rien quant au sens qu'on attribue aux données suivantes :

    For each has a distinguished identity object , and for all we have a composition funtor :
    satisfying :
    - For all we have :
    - for all , and :
    for all
    Finally, we require the middle interchange condition :
    - If , and we have arrows of , and arrows of
    ( so are objects, are -morphisms, and : are -morphisms ), then we have : .

    C'est un peu ambigu tout ça.

    Merci d'avance.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 27/06/2017 à 10h55.
     

  8. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 032

    Re : La notion de 2-catégorie.




    For each has a distinguished identity object , and for all we have a composition funtor :
    satisfying :
    1 - For all we have :
    2 - for all , and :
    3 - for all
    Finally, we require the middle interchange condition :
    - If , and we have arrows of , and arrows of
    ( so are objects, are -morphisms, and : are -morphisms ), then we have

    4 : .



    Merci d'avance.
    la relation (1) est difficile à saisir même s'elle apparaît logique (composition de foncteurs).

    - la 2 ème est la composition des 1-morphismes
    - la 3 ème est la composition des 2-morphismes
    - la 4 ème c'est une relation entre les compositions* horizontale** et verticale des 2- morphismes .
    si on note par (.) la composition vertical et par () la composition horizontal , pour mettre les deux compositions au sein d'une même relation, on'a

    une façon de voir :






    * https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%...er_letters.svg
    **https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%...on_letters.svg
    Dernière modification par azizovsky ; 27/06/2017 à 22h52.
     

  9. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    71

    Re : La notion de 2-catégorie.

    Bravo à toi azizovsky, tu es vraiment excellent.
    J'ai compris les trois derniers points que tu m'as expliqué, mais la première est vraiment délicate à comprendre pour moi.
    azisovsky, je suis chentouf, ton ancien ami du forum avant que je change de pseudo. J'ai demandé aux chers modérateurs de me rétablir mon ancien compte chentouf, et j'attends encore qu'ils me règlent ce problème. Ils me disent que ça prend du temps cette procédure.
    Merci encore une fois azizovsky pour m'avoir aidé, et je serai encore plus ravi que tu me fasses déchiffrer le premier point de la définition ( Composition des foncteurs ).
    et tu fais toujours du carlage dans la vie de tous les jours azizovsky ?
     

  10. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 032

    Re : La notion de 2-catégorie.

    je le suis encore, même ici avec ce 'pavage' :









    pour le reste, j'espère qu'il y'a quelqu'un du domaine pour te répondre (= apprenti)
    Dernière modification par azizovsky ; 28/06/2017 à 11h57.
     

  11. JPL

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Messages
    66 303

    Re : La notion de 2-catégorie.

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    B.je suis chentouf, ton ancien ami du forum avant que je change de pseudo. J'ai demandé aux chers modérateurs de me rétablir mon ancien compte chentouf, et j'attends encore qu'ils me règlent ce problème.
    On t’a déjà expliqué que c’était techniquement impossible, et ce n’est pas le lieu d’en discuter ici : en gros c’est comme si tu disais, dans un moment d’égarement j’ai brûlé par erreur un manuscrit ; pouvez-vous le ressusciter ?
    Fin du hors sujet.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac
     

  12. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    71

    Re : La notion de 2-catégorie.

    Citation Envoyé par JPL Voir le message
    On t’a déjà expliqué que c’était techniquement impossible, et ce n’est pas le lieu d’en discuter ici : en gros c’est comme si tu disais, dans un moment d’égarement j’ai brûlé par erreur un manuscrit ; pouvez-vous le ressusciter ?
    Fin du hors sujet.
    D'accord. Bon ...

    Svp, une question que j'adresse à tout le monde :
    Ce qui me pousse à m'intéresser à la notion de -catégorie est qu'elle présente le socle du fondement de la théorie des moduli stacks. Or, je me rends compte que la notion de -catégorie est un simple traitement d'une notion plus générale qui est la notion de - catégorie. Qu'est ce que c'est que une -catégorie ? est ce que l'introduction de la notion de -catégorie suppose qu'il existe une notion de -catégorie que je n'ai jamais vu ou lu, ... je ne sais pas encore si ça existe ou non. Je suis curieux de lire davantage sur ces sujets, mais je ne sais pas où les trouver sur le net. J'ai meme vu parler de notions telles - catégorie. Bref, il y'a beaucoup de notions à vouloir aborder, mais je n'arrive à les tous appréhender ou cerner. Any help ?
    Merci d'avance.
     

  13. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    260

    Re : La notion de 2-catégorie.

    Si tu veux savoir ce qu'est un champ, ce qui est la traduction française de stack, il est utile d'avoir des exemples en tête. Personellement l'exemple que je garde en tête est l'"espace", le champ, des G-torseurs sur une variété. Et d'une certaine façon c'est le "seul" exemple.
    Un champ c'est une catégorie fibrée en groupoïdes sur une catégorie de base . Ceci à bien sur une structure de 2-catégorie. On a des morphismes entre les morphismes. On peut bien sur penser à ca en terme d'homotopies et dans d'autres cadres, par exemple celui des -catégories comme modèle pour faire de la théorie homotopique des schémas c'est une bonne idée. Mais ici c'est plus simple.

    Si tu penses à ta catégorie de base comme la catégorie des ouverts et inclusion d'un espace topologique, alors le champ est la catégorie des -torseur à la quelle on pense. Pour avoir un champ en bonne et due forme il faut que les données de descentes soient effectives. C'est effectivement ce à quoi on s'attend pour une catégorie de -torseurs, si on definit localement et qu'on recolle on définit de manière unique un -torseur. Il faut de plus que le foncteur de pull-back soit un faisceau, évidement cela implique d'avoir une structure de site sur la catégorie de base C.

    Les axiomes de 2-catégories viennent alors naturellement en examinant les propriétés de ces exemples.
     

  14. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    71

    Re : La notion de 2-catégorie.

    Merci.
    et que signifie l'axiome suivant :
    satisfying :
    - For all we have :
    en termes de diagrammes. C'est compliqué à déchiffrer.
     

  15. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    260

    Re : La notion de 2-catégorie.

    C'est évident, ça veut dire que les différentes manières de composer les mêmes flèches donnent la même chose. Ça traduit simplement l'associativité de la composition et le fait que l'identité agit comme l'identité : "simplifiable" à gauche et à droite.
    Dernière modification par AncMath ; 30/06/2017 à 14h10.
     


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