Quelle est la valeur de Pi en géométrie non-euclidienne ?

[eudea-panjclinne]

Il y a quelques temps furent posées ces questions.

Sachant qu'en géométrie non-euclidienne la somme des angles d'un triangle rectangle n'est pas égale à Pi radians (180°) :
1/ le rapport de la circonférence du cercle circonscrit à un triangle rectangle à son diamètre est-il toujours égal à Pi ?
2/ Par ailleurs, quel est l'aspect du cercle en géométrie non-euclidienne ? Est-ce toujours une figure symétrique par rapport à son centre ?

Je relance ces questions qui, bien que posées de façon maladroite - mais il n'y a pas de question stupide - me paraissent intéressantes sachant que des éléments de réponses peuvent leurs être donnés.

Je précise la contexte en me plaçant d'un point de vue élémentaire et en considérant de la géométrie non-euclidienne ce qu'en entendait Gauss qui le premier utilisa ce qualificatif pour désigner une géométrie indépendante du postulat de la parallèle unique.

Parler de géométrie non-euclidienne à un niveau élémentaire, c'est entrer obligatoirement dans l'histoire de la Géométrie d'Euclide et de ses Éléments.
En 300 Av. JC Euclide publie les Éléments (*), c'est un ouvrage proposant une construction logique et remarquable de la géométrie dite euclidienne à partir d'un ensemble de d'énoncés (ou prémisses) appelée définitions, axiomes, postulats. Par des raisonnement logiques, Euclide démontre et construit peu à peu, à l'instar du maçon qui élève une maison, les différents théorèmes de la géométrie élémentaire en n'utilisant rien d'autre que les énoncés admis au début et les théorèmes déjà montrés. Tous les mathématiciens considérèrent cette oeuvre comme admirable, voire parfaite jusqu'au 19e siècle. Une seule ombre au tableau, le 5e postulat.
Dans sa version moderne (axiome de Playfair) :

Par un point pris extérieur à une droite on ne peut faire passer qu'une parallèle à cette droite.

Le texte euclidien est un peu plus compliqué mais se ramène à cela.

Très rapidement, un certain nombre de mathématiciens remarquèrent ce 5e Postulat (**) peut-être parce que sa forme paraissait différente des autres. Quoiqu'il en soit, ils le ressentirent comme un théorème. D'autant plus, que Euclide dans son livre 1 ne l'utilise qu'à partir de la 29e proposition : Euclide ne l'aurait-il pas inclus au dernier moment sans trop se poser de question et ne peut-on imaginer pouvoir le démontrer à partir des autres postulats et des théorème précédents ?

Un certain nombres de prétendues démonstrations furent fournies, les première furent données par Posidonius (1s. Av. JC) et une des dernières sera fournie par AM Legendre. La plupart des démonstrations euclidiennes doivent s'appuyer sur des figures dessinées dans le plan euclidien à cause, entre autre, de la définition inconsistante de la droite chez Euclide (avis de D'Alembert) de sorte que la plupart de ces mathématiciens introduisaient inconsciemment dans leur démonstration du 5e postulat des ingrédients équivalents à ce postulat et croyaient, de cette façon, le montrer ou faire apparaitre une contradiction en voulant prouver le contraire. De fait, toutes ces démonstrations apparaissaient rapidement erronées.

C'est à partir du 18e siècle que deux mathématiciens J.H. Lambert et G. Saccheri dans leur tentatives de démonstration du 5e postulat aboutirent à un certain nombre d'énoncés indépendants de ce dernier : ils débutaient leurs démonstrations en ne supposant pas le 5e postulat et exploraient logiquement les théorèmes qu'ils pouvaient en déduire (Géométrie absolue). (***)

Il apparut 3 types de résultats :
A) Par un point pris extérieur à une droite on pouvait avoir :
1) zéro parallèle, 2) une parallèle (cas euclidien), 3) deux parallèles et une infinité de non sécantes

B)La somme des angles d'un triangle pouvaient être
1) >Pi, 2) =Pi, 3) <Pi

C) 1) Pas de similitude, 2) existence de la similitude, 3) pas de similitude

le premier cas correspond à la géométrie sphérique ou géométrie de l'angle obtus
le second à la géométrie euclidienne
le troisième à la géométrie de Lobatchevski ou de l'angle aigu.

Saccheri et Lambert, bien qu'il ne soient pas tombés sur des contradictions, persistèrent à voir dans ces géométries indépendantes du 5e postulat des chimères.
Il faut attendre la première moitié du 19e siècle et les travaux de 3 mathématiciens C.F. Gauss, N.I.Lobatchevski et J. Bolyai pour que l'on admette qu'ils existaient des géométries non dépendantes du 5e postulat et exempts de contradiction.

Les premier et troisième cas ci-dessus correspondent au géométries non-euclidiennes dans le cadre précisé au début. Mais malheureusement comme notre monde est euclidien, il est impossible de représenter exactement ces géométries. Les représentations qu'on en fera seront nécessairement incorrectes.
On peut cependant utiliser ce qu'on appelle des Modèles qui sont des constructions logiques utilisant les ressources de la géométrie euclidienne et observant exactement les postulats de ces géométries.
Il en existe plusieurs, les plus intéressants ou connues sont :
1) pour la géométrie sphérique / de l'angle obtus : la sphère, sur laquelle les droites que l'on appellera S-droites sont les grands cercles de la sphère.
3) pour la géométrie de Lobatchevski / de l'angle aigu : la géométrie hyperbolique du demi plan complexe supérieur (demi-plan de Poincaré). les H-droites y sont les demi-cercles centrés sur l'axe réel ou les droites perpendiculaires à l'axe réel.

Dans ces deux modèles les angles sont conservés c'est à dire que les S-angles et H-angles sont égaux aux angles euclidiens, mais par contre la distance entre deux points n'est pas conservée :
Dans la première, la S-distance entre deux points doit être calculée comme la distance euclidienne de l'arc de grand cercle reliant ces deux points.
Dans la seconde c'est plus compliqué : sur une H-droite perpendiculaire à l'axe réelle, une H-échelle est une échelle régulière graduée avec les logarithmes de la graduation régulière. Les distances tendent vers l'infini quand on se rapproche de l'axe réel.

Par ailleurs, quel est l'aspect du cercle en géométrie non-euclidienne ? Est-ce toujours une figure symétrique par rapport à son centre ?

La question n'a pas de sens puisqu'on ne peut représenter exactement une telle géométrie dans notre monde euclidien, cependant on peut se poser la question : quel est l'aspect d'un cercle dans un certain Modèle d'une telle géométrie, par exemple :
quel est l'aspect d'un S-cercle dans la géométrie sphérique ? Il est facile de trouver la réponse.
quel est l'aspect d'un H-cercle dans la géométrie hyperbolique ? Ce sont des cercles inclus strictement dans le demi-plan supérieur.
Malheureusement, ce n'est plus le cas dans d'autres modèles tels la pseudo-sphère ou le modèle de Klein-Beltrami.

Est-ce toujours une figure symétrique par rapport à son centre ?

Oui, même si le modèle hyperbolique ne le montre pas forcément.

le rapport de la circonférence du cercle circonscrit à un triangle rectangle à son diamètre est-il toujours égal à Pi ?

On peut répondre facilement dans le cas de la géométrie sphérique.
C'est plus délicat dans le cas hyperbolique.
Un calcul un peu technique donne pour la circonférence d'un cercle de H-rayon R :
Circ=2Pi sh(R)
sh est le sinus hyperbolique.
vous pouvez conclure facilement.

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(*)
Eléments d'Euclide - Wiki

(**)Les éléments d'Euclide traduction de F.Peyrard, 1804
Eléments d'Euclide - Gallica

(***)
Les géométries non-euclidiennes - JL Chabert
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[Chanur]

(...) Mais malheureusement comme notre monde est euclidien, il est impossible de représenter exactement ces géométries. Les représentations qu'on en fera seront nécessairement incorrectes. (...) on ne peut représenter exactement une telle géométrie dans notre monde euclidien

Même en le répétant ça ne devient pas vrai.
On peut très facilement avoir dans un espace 3D euclidien des surfaces courbes.
La géométrie au sein de ses surfaces est non euclidienne.

Exemple : tracer des figures à la surface d'une sphère (géométrie sphérique) ou d'une selle de cheval (géométrie hyperbolique).

Evidemment, c'est moins facile à visualiser si on parle de géométrie non euclidienne à 3 dimensions (ou plus) ou si on considère une surface qui ne peut pas être plongée dans un espace euclidien à 3 dimensions. Mais déjà, en considérant des surfaces qu'on connait bien, on peut visualiser ce qui se passe.

Par contre, je n'ai pas du tout compris pourquoi ça devrait modifier la valeur de pi.

[eudea-panjclinne]

Même en le répétant ça ne devient pas vrai.
On peut très facilement avoir dans un espace 3D euclidien des surfaces courbes.

Je me suis certainement mal expliqué. Et vous avez raison. Dans les représentation faites ici on perd la notion de "droit euclidien", soit l'égalité des distances euclidiennes ou des angles. Dit d'une autre façon on ne peut pas représenter dans notre univers ces géométrie non-euclidiennes avec simultanément nos droites habituelles, des angles égaux représentés égaux, de même pour les distances.
Dans la géométrie sphérique les S-droites sont des cercles et non des droites habituelles, etc pour les autres modèles. Dans celui de Klein-Beltrami, les K-droites sont des segments de droites limités par un cercle, mais les angles euclidiens et les distances euclidiennes qui sont représentés ne correspondent pas aux angles et distance de cette géométrie.
Je me place dans le contexte historique de cette histoire, ou pour les mathématiciens (jusqu'au 19es) une droite doit être "droite", des angles égaux doivent apparaître égaux sur la figure, etc.

Par contre, je n'ai pas du tout compris pourquoi ça devrait modifier la valeur de pi.

La question originelle et maladroite était "quelle est la valeur de pi...".
En faite elle n'a plus de sens dans les deux géométries non-euclidiennes considérées ici, tout simplement parce que la similitude n'y existe pas. En effet, en géométrie euclidienne une définition de Pi est le rapport de la circonférence au diamètre et ce rapport reste constant quelque soit le rayon du cercle, ce qui donne tout son sens à cette constante puisque la géométrie euclidienne connait la similitude.

[Resartus]

Bonjour,
On peut définir une métrique sur les trois types de variétés, ce qui veut dire que les notions de longueur (géodésiques) et de surface y sont bien définies. Nul besoin de les plonger dans un espace euclidien de dimension supérieure.

Il semble alors raisonnable de s'intéresser aux géométries de courbure constante (positive en sphérique, négative en hyperbolique, nulle en euclidien).

La différence entre la somme des angles d'un triangle et pi (180°) est proportionnelle à l'aire de ce triangle et ce rapport de proportionnalité est la courbure, ce qui permet d'unifier les trois types de géometrie dans une même formule.

En appliquant cette formule au cercle (vu comme limite d'un polygone régulier), on peut retrouver la formule pour le rapport de la surface d'un cercle au carré de son rayon :
Cela doit donner quelque chose comme S(r)/r²=pi + c. Kr²

Où c est un coefficient dont je ne me souviens plus : à retrouver par calcul ou sur internet (je n'ai pas le temps ce matin....).

Cette formule donne la généralisation du "pi" euclidien...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Rebonjour,

Mes souvenirs étaient incomplets...
C'est seulement quand r est petit devant le rayon de courbure de l'espace qu'on trouve S(r)/r²=pi-k.r²/12+... où k est la courbure de gauss

Les formules exactes sont :
S(r)=4pi.R².sin²(r/2R) en géométrie sphérique et S(r)=4pi.R²sinh²(r/2R) en géométrie hyperbolique, où R est le rayon de courbure de l'espace

( R²=1/|k|)

[Amanuensis]

Annullé.... (erreur stupide de ma part...)

[andretou]

Rebonjour,

Mes souvenirs étaient incomplets...
C'est seulement quand r est petit devant le rayon de courbure de l'espace qu'on trouve S(r)/r²=pi-k.r²/12+... où k est la courbure de gauss

Les formules exactes sont :
S(r)=4pi.R².sin²(r/2R) en géométrie sphérique et S(r)=4pi.R²sinh²(r/2R) en géométrie hyperbolique, où R est le rayon de courbure de l'espace

( R²=1/|k|)

Merci à tous pour toutes ces informations.
Resartus, aurais-tu également la formule qui donne la circonférence du cercle dans les deux cas ?

[Resartus]

Bonjour,
Il suffit de dériver par rapport à r :
soit C(r)= 4.pi.R sinh(r/2R)cosh(r/2R) en hyperbolique, ou en appliquant la formule de l'angle moitié : 2.pi.R.sinh(r/R)
et idem en sphérique : C(r)=2pi.R.sin(r/R)

On retrouve bien que cela tend vers 2.pi.r quand R tend vers l'infini

[Amanuensis]

Ce qui permet de voir qu'en sphérique le rapport périmètre sur rayon prend toutes les valeurs de 0 à 2Π, et qu'en hyperbolique ce même rapport prend toutes les valeurs entre 2Π et l'infini. Et en réunissant les deux, on a toutes les valeurs de R+ (zéro compris).

[eudea-panjclinne]

Ce qu'on pouvait partiellement prévoir, puisque dans les géométries sphérique et hyperbolique la similitude n'existe pas.

[eudea-panjclinne]

On retrouve bien que cela tend vers 2.pi.r quand R tend vers l'infini

ou quand r tend vers 0 et qui traduit le fait que ces deux géométries sont euclidiennes au niveau infiniment petit.
Ce que nous, habitants sur une "sphère", imaginons facilement.

[Amanuensis]

Ou plus rigoureusement que l'approximation par la géométrie euclidienne est d'autant meilleure que la surface de région considérée est petite devant l'inverse de la courbure (de Gauss).