Comment montrer que cette fonction est injective?

**Kakihara** · 03/07/2017, 19h13

Bonjour à tous/toutes, cette communauté me semble sympa et je viens vous poser une question simple.

Je cherche à étudier la bijectivité de la fonction $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .

Je sais qu'il est aisé d'exhiber l'inverse de cette fonction en résolvant l'équation $\text{[math]}$ d'inconnue $\text{[math]}$ , pour $\text{[math]}$ et de vérifier que c'est bien un inverse i.e.
$\text{[math]}$ .

De même, on peut simplement vérifier que $\text{[math]}$ est strictement monotone sur $\text{[math]}$ .

Mais ce qui m'intéresse, c'est examiner l'injectivité de cette fonction :

Soit $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ .

Et ici, aussi étrange que cela puisse paraître, je n'arrive pas à conclure. Je sais, c'est idiot...

Une âme charitable peut-elle m'aider? Sincères salutations et remerciements.

**Kakihara** · 03/07/2017, 20h38

Tiens, une petite erreur de Latex : \iff représente $\text{[math]}$ ...

**pm42** · 03/07/2017, 20h57

Je ne comprends pas : si elle est strictement monotone, tu as le théorème de la bijection qui te permet de conclure immédiatement non ?

**Kakihara** · 03/07/2017, 21h27

En effet, mais je souhaiterais simplement étudier l'injectivité de cette fonction indépendamment du reste.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**duduch74** · 03/07/2017, 21h43

Tu as essayé la définition c'est à dire montrer f(x1) = f(x2) => x1 = x2 ou la contraposée x1 =/= x2 => f(x1) =/= f(x2) ?

**Kakihara** · 03/07/2017, 21h50

J'ai essayé la définition, comme écris dans le post original. Je tente la contraposée.

**Médiat** · 03/07/2017, 21h51

Bonjour

Envoyé par Kakihara

$\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ et vous pouvez conclure

**ansset** · 03/07/2017, 21h54

inutile , déjà dit..

**Kakihara** · 03/07/2017, 22h42

Non non, il semble que cette réponse correspond bien à mes attentes.

D'ailleurs, j'avais aboutit à une conclusion similaire :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en divisant respectivement par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Dieu sait pourquoi je l'ai effacé de mon brouillon, certainement la fatigue.

Sincères salutations.

**Médiat** · 04/07/2017, 06h27

Bonjour,

Envoyé par Kakihara

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en divisant respectivement par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Dieu sait pourquoi je l'ai effacé de mon brouillon, certainement la fatigue.

Peut-être parce que c'est faux !

**Kakihara** · 04/07/2017, 13h05

Wait mais c'est ça!

Comment se fait-il que l'on ai $\text{[math]}$ et en même temps, par exemple $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ...

**ansset** · 04/07/2017, 13h30

Envoyé par Kakihara

Wait mais c'est ça!

Comment se fait-il que l'on ai $\text{[math]}$ et en même temps, par exemple $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ...

de fait , on a :
si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

**Kakihara** · 04/07/2017, 13h31

Ah oui, on peut très bien avoir par exemple 2*5 - 2*6 = 2*150 - 2*180 donc c'est totalement faux. Mea culpa.

**Kakihara** · 04/07/2017, 13h40

Envoyé par ansset

de fait , on a :
si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

C'est comme si on raisonnait par l'absurde en fait :

Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ , or, ce résultat n'est valable que pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

On aboutit donc à une contradiction, ce qui permet de conclure $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est bien injective sur $\text{[math]}$ .

**Médiat** · 04/07/2017, 13h47

Comme cela, ça marche.

**Kakihara** · 04/07/2017, 14h09

Très bien, merci.

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