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Hyperplan et vecteur normal

  1. kizakoo

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    68

    Hyperplan et vecteur normal

    Bonsoir, J'ai quelques questions en relation avec les espaces euclidiens auxquelles je ne trouve pas de réponses:

    1-Soit un vecteur n, est-ce qu'on a l'existence d'un hyperplan tel que n soit normal à cet hyperplan ?
    2-Supposons l'existence de cet hyperplan est-il unique et donc tous deux hyperplans 'orthogonaux' à ce vecteur sont égaux?

    Merci infiniment de vos réponses

    -----

     


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  2. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 157

    Re : Hyperplan et vecteur normal

    Déjà il faut exclure le cas du vecteur nul. Prenons donc un vecteur n non nul

    Pour le 2), soit x dans H1. Maintenant, comme H2 est un hyperplan, x s'écrit de façon unique comme x = y + t.n, t réel et y dans H2

    <x,n> = <y+tn, n> = t ||n||²

    Mais x est normal à n, donc t=0, et par suite x=y. Ainsi x appartient à H2, et H1 C H2. On a donc H1 = H2 en refaisant le même raisonnement avec un élément de H2.


    Pour le 1) : Il suffit de considérer H = { x dans E | <x,n> = 0 }. On peut montrer que c'est un espace vectoriel, reste la question de sa codimension.

    x -> <x,n> est une application linéaire, son image est de dimension 1, donc par le théorème du rang, la codimension du noyau est égale à 1 : un tel hyperplan existe, et on sait même le décrire
     

  3. kizakoo

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    68

    Re : Hyperplan et vecteur normal

    Merci Tryss2 j'ai très bien saisi ton raisonnement
    Sinon en essayant de démontrer le 1 j'avais oublié le fait que x est décomposable en un élèment dans H2 + ... donc je n'avais aucune issue.
     


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