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Degre topologique

  1. #1
    opopp12

    Degre topologique

    Bonjour à tous, je bloque sur une démonstration d'une proposition que j'ai vu dans un livre si vous pouvez m'aider à comprendre un peu.
    Soit A ∈ Rn un compact et une fonction f : A--> Rn continue. Alors f peut être prolongée continuellement sur Rn, i.e. il existe une fonction tilde{f}: Rn→ Rn telle que tilde{f}(x)=f(x) pour tout x dans A.
    Et comme démonstration on a: Puisque A est compact, il existe un sous-espace dense et au plus dénombrable {a^1, a^2, . . . } de A. Soit dist(x,A) la distance du point x à A, i.e. dist(x,A) = inf {|x−a|:a∈A}, et ϕ_i(x)=max{2−(|x−a^i|/dist(x,A)),0} pour x n'appartenant pas à A, alors
    tilde{f}(x)=f (x) pour x ∈ A et tilde{f}(x)=[(\sum_{i>=1}(2^-i)ϕ_i(x))^-1][\sum_{i>=1}(2^-i)ϕ_i(x)f(a^i)] pour x / ∈ A et par suite définie un prolongement continue de f.
    Merci d'avance.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    opopp12

    Re : Degre topologique

    (ϕ_i)_i>0 est la famille des 'mollifiers' que je n'arrive pas comprendre aussi en français. En fait c'est dans un livre en anglais.

  4. #3
    opopp12

    Re : Degre topologique

    Bonsoir à tous, pas de solution jusqu'à présent??
    On me dit qu'avec le lemme d'Urysohn on peut s'en sortir, mais je ne vois pas trop comment.
    C'est vraiment important.
    Merci

  5. #4
    Tryss2

    Re : Degre topologique

    ça ressemble fortement au Théorème de prolongement de Tietze
    Dernière modification par Tryss2 ; 15/07/2017 à 16h58.

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