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Degré topologique de R^n et applications

  1. opopp12

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    33

    Degré topologique de R^n et applications

    Bonjour à tous,
    je doit soutenir bientôt et mon pfe porte sur le "Degré topologique de R^n et applications", et ça sera ma première fois, donc je ne sais pas trop à quoi m'attendre comme questions, et j'aimerais beaucoup votre aide pour parer à d'éventuelles questions des jury sur cet pfe portant le thème si dessus.
    Vos différentes questions seront les bienvenues, ça m'aiderait beaucoup.
    Merci d'avance.

    -----

     


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  2. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    287

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Qu'est ce donc que le degré topologique de ?
     

  3. opopp12

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    33

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    C'est un outil qui joue, pour les applications non linéaires, le rôle de déterminant dans le cas linéaire, et qui par sa non nullité nous permettra de dire qu'une équation de la forme "f(x)=y" a au moins une solution.
     

  4. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
    Localisation
    Dans le plan complexe
    Âge
    26
    Messages
    10 426

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Ce qu'AncMath voulait faire remarquer, il me semble, c'est que le degré topologique d'une application est définie, mais pas de .
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  5. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 217

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Citation Envoyé par opopp12 Voir le message
    C'est un outil qui joue, pour les applications non linéaires, le rôle de déterminant dans le cas linéaire, et qui par sa non nullité nous permettra de dire qu'une équation de la forme "f(x)=y" a au moins une solution.
    tu veux parler du jacobien?
     


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  6. opopp12

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    33

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    D'accord Seirios, c'est à dire le degré topologique en dimension finie.
    Minushabens, non pas du tout, de manière évidente, le degré dépendra de f et y, mais aussi de l’ensemble sur lequel on cherche les solutions à " f(x)=y" avec f continue.
     

  7. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 217

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Citation Envoyé par opopp12 Voir le message
    le degré dépendra de f et y (...)
    c'est une notion que tu as élaborée toi-même? Dans ce cas je te trouve gonflé de nous demander ce qu'on en pense si tu ne la définis pas ici.
     

  8. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    2 678

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Bonjour,
    Non, cela existe bel et bien et c'est utilisé notamment dans l'étude du comportement des systèmes d'équations différentielles près de leurs points fixes
    Si on est sur R^n, on n'a pas trop de problèmes "topologiques", et on peut donner des définitions analytiques : c'est en très gros le nombre de directions dans lesquelles les dérivées restent nulles quand on se déplace autour de ce point fixe.
    C'est une sorte de généralisation de ce qu'on fait avec le jacobien : par exemple, si la forme quadratique associée au jacobien est définie positive ou négative, le degré topologique sera nul, car il n'y a aucune direction dans laquelle la fonction reste constante, et le point fixe sera une source ou un puits. Sinon, ce sera un point selle... Le degré permet de traiter des cas où le jacobien aurait lui-même des valeurs nulles, et il faut passer à des ordres supérieurs

    Un certain nombre de résultats, dont en particulier l'existence et la stabilité de solutions périodiques, dépendent de la valeur de ce degré topologique.

    Mais, s'agissant de travaux très pointus, je crains que ce forum ne soit pas le plus adapté à ces questions (à moins qu'un des membres du jury de soutenance ne soit présent, mais est-ce souhaitable pour opopp12?)
    Dernière modification par Resartus ; 21/06/2017 à 08h19.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  9. opopp12

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    33

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Bonsoir à tous,
    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    c'est une notion que tu as élaborée toi-même? Dans ce cas je te trouve gonflé de nous demander ce qu'on en pense si tu ne la définis pas ici.
    Minushabens je crains de ne pouvoir vous comprendre, ai-je dis quelque chose qu'il ne fallait pas sans m'en rendre compte?
    Si c'est le cas je m'en excuse.
    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Mais, s'agissant de travaux très pointus, je crains que ce forum ne soit pas le plus adapté à ces questions (à moins qu'un des membres du jury de soutenance ne soit présent, mais est-ce souhaitable pour opopp12?)
    Ahh d'accord Resartus, c'est noté.
     

  10. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
    Localisation
    Dans le plan complexe
    Âge
    26
    Messages
    10 426

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Je ne sais pas si tu utilises exactement la même définition du degré topologique, mais ce fil pourrait t'intéresser : Une alternative à l'homologie, le degré topologique de Brouwer.
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  11. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 217

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Citation Envoyé par opopp12 Voir le message
    Minushabens je crains de ne pouvoir vous comprendre, ai-je dis quelque chose qu'il ne fallait pas sans m'en rendre compte?
    Si c'est le cas je m'en excuse.
    tout peut être dit mais ton emploi du futur m'a fait croire que c'était une notion que tu développais.
     

  12. opopp12

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    33

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Je ne sais pas si tu utilises exactement la même définition du degré topologique, mais ce fil pourrait t'intéresser : Une alternative à l'homologie, le degré topologique de Brouwer.
    Merci bien Seirios, ceci m'a beaucoup aidé.
    Pas du tout Minushabens c'est mon prof de projet qui a choisi le thême.
     

  13. opopp12

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    33

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Bonjour Seirios, je cherche tout de même à comprendre, les différentes étapes que vous avez suivi pour l'unicité. Si vous pouvez m'éclaircir un peu.
    Merci.
     

  14. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
    Localisation
    Dans le plan complexe
    Âge
    26
    Messages
    10 426

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Bonjour,

    J'ai écrit ce texte il y a quatre ans, donc si tu pouvais être un peu plus précis dans tes questions... Mais l'idée générale est de ramener la valeur du degré topologique d'une application continue à celle du degré topologique d'une application linéaire, puis de faire ce calcul (le résultat s'exprimant en fonction du déterminant).
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  15. opopp12

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    33

    Re : Degré topologique de R^n et applications

    Merci beaucoup Seirios pour vos éclaircissements, je voulais comprendre l'idée générale ce qui est fait à présent.
     


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