Equation Diophantienne à puissance

[invite34915237]

Salut,

équation diophantienne puissance
Résoudre :
1/
2/

Cordialement.
-----

[stefjm]

2/

Celle-ci, je l'aime bien :
Cette équation diophantienne n'a que deux solutions

et


Deux façons très élégantes de définir l'unité à partir de la différence de l'impair et du pair, du carré de l'impair et du cube du pair.

[invite34915237]

Pourquoi n'a-t-elle que 2 couples solutions ?

3/

[stefjm]

Pourquoi n'a-t-elle que 2 couples solutions ?

Pas la moindre idée. Je suis une quiche en arithmétique.

3/

J'aime bien aussi!



triplet pytagoricien

Il n'y en a que trois, mais je ne sais pas le démontrer non plus...

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Pourquoi n'a-t-elle que 2 couples solutions ?

c'est ce qu'on a longtemps appelé la conjecture de Catalan: 8 et 9 sont les seules puissances consécutives (en excluant l'exposant 1). Maintenant c'est un théorème.

[0577]

Bonjour,

comme rappelé par minushabens, la question 2) est un cas particulier de la conjecture de Catalan, récemment démontrée (vers 2002). Mais c'est en fait un cas particulier élémentaire, connu depuis Levi ben Gerson (1288-1344)(!).

Je vous laisse les détails sous forme d'un exercice:

a) Faire une étude modulo 8 des puissances de 3 et de 2.

b) Si 3^k est congru à 3 modulo 8, conclure.

c) Si 3^k est congru à 1 modulo 8, remarquer que k est pair, k=2m, et écrire 3^(2m)-1=(3^m-1)(3^m+1). Conclure.

Une étude modulo 8 permet de même de démontrer que l'équation de la question 1) n'admet pas de solutions.

[invite34915237]

Bonjour,

4/Catalan +1 : Résoudre .

Bonne journée.

[minushabens]

bonjour,

quand tu demandes de l'aide sur un exercice je crois que tu devrais montrer où tu en es.

sinon j'arrive à voir qu'il faut que a et b soient impairs (2 ne divise pas ab pour faire savant).

[stefjm]

4/Catalan +1 : Résoudre .

Une seule solution triviale et à priori, pas d'autres solutions :


5/Catalan +1 symétrique : Résoudre .
Seulement deux solutions triviales :

[minushabens]

donner des solution sans démonstration n'est pas très utile.

[stefjm]

Ce ne sont pas des solutions mais les solutions.
Si je savais démontrer le théorème de Catalan ou équivalent, mon nom serait plus connu qu'il ne l'est aujourd'hui.
Dattier pose plutôt des énigmes que des problèmes mathématiques, alors je répond sur le même registre.

[gg0]

Minushabens,

Stefjm démontre bien que ce sont des solutions. Ce qu'il ne démontre pas, c'est que ce sont les seules. Mais vu l'activité mathématique de Dattier sur ce sujet, il est déjà bien bon de répondre.

Cordialement.

[stefjm]

Les démonstrations de ce genre de relations sont-elles devenues "faciles" en utilisant le théorème de Catalan?
C'est une vraie question dont je n'ai pas la moindre idée de la réponse!

[minushabens]

Ce ne sont pas des solutions mais les solutions.

quand tu écris "seulement une solution" tu as un argument ou c'est juste que tu as joué avec ta calculatrice et que tu n'as trouvé aucune autre solution?

[stefjm]

Je fais sans doute un peu trop confiance à Alpha Mathématica.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%2B3%5Ea%3D5%5Eb

[invite34915237]

Bonjour,

Encore gégrard et son mauvais esprit... lol

Maintenant je vous donne la méthode général illustrer dans le cas 3/ (pour cela il faut un logicile de calcul formel) puis à vous de la mettre en oeuvre dans les autres cas :

https://math.stackexchange.com/quest...369477#2369477


Bonne journée.

[invite34915237]

Une étude modulo 8 permet de même de démontrer que l'équation de la question 1) n'admet pas de solutions.

Pour 1/ ok.

Mais pour 2/, non en effet on obtient juste que k est pair et n>2, rien de plus.

[0577]

Mais pour 2/, non en effet on obtient juste que k est pair et n>2, rien de plus.

J'ai expliqué au point c) de ma réponse comment traiter ce cas.

[invite34915237]

Oui, maintenant j'ai compris car pgcd(3^m-1,3^m+1)=2.