Bonjour, en considérant un endomorphisme u scindé verifiant :
pour toute valeur propre λ : ker(u−λId) et Im(u−λId) sont supplémentaires. On veut montrer que cet endomorphisme est diagonalisable.
Soit λ valeur propre
En considérant la matrice de u dans une base adaptée à la supplémentarité de ker(u−λId) et Im(u−λId) on a :
X(u)=(X-λ)^dim(ker(u − λId)) . X(Im(u − λId)) (1)
X(u) étant le polynôme caractéristique de u et X(Im(u-λId)) désignant le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par u dans Im(u−λId)
Puisque X(u) est scindé alors il est divisible par (X-λ)^{m} (2) où m désigne la multiplicité de λ donc (1) est divisible par (2) par suite m=dim(ker(u−λId) car sinon , et puisque m>= dim(ker(u−λId), on aura X(Im(u−λId)) est divisible au moins par X-λ donc λ est valeur propre dans Im(u−λId) ce qui se contredit avec ker(u−λId) et Im(u−λId) sont d'intersection l'élément nul.
Aurai-je commis des bêtises?
Merci de me corriger.
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