Lancers d'un dé : pourquoi faut-il combiner les raisons de perdre ?

[muzoter]

Bonjour,

Lors de lancers d'un dé de n faces numérotées de 1 à n, réputés tous parfaitement indépendants les uns des autres, il est intuitif de croire que la chance d'obtenir un numéro particulier augmente avec le nombre de lancers.

Cependant l'aspect paradoxal de la question nait du fait que la raison semble devoir contredire cela car les lancers sont tous réputés parfaitement indépendants les uns des autres.

Je viens de lire sur ce site de C.Magnan la raison mathématique du paradoxe :

http://www.lacosmo.com/proba/proba.html



Il semble clair malgré tout qu'en multipliant les essais nous augmentons au total les chances de réussite. Comment? Calculons cet effet.

L'« astuce » de raisonnement consiste à considérer la probabilité de l'événement complémentaire, celui de perdre. Ici la « chance de perdre » (si on peut dire!) est évidemment de 5/6 par essai (soit 0,83). La suite du calcul est alors très simple. Perdre une fois est probable (5 chances sur 6). Mais perdre deux fois de suite l'est moins. En effet, à la probabilité de perdre une fois (5/6) se combine la probabilité (inférieure à l'unité) de perdre une autre fois, c'est-à-dire encore 5/6. La probabilité de perdre deux fois de suite est donc



P2=(5/6)2 (1)





soit 0,69.

La généralisation est immédiate. La probabilité de perdre n fois de suite est



Pn=(5/6)n . (2)





Or, cette probabilité décroît bien lorsque le nombre de coups augmente (la probabilité de perdre n fois est 5/6 fois plus petite que la probabilité de perdre (n - 1) fois) . Autrement dit, en accord avec notre intuition, plus notre séquence de coups est longue, moins nous avons de chances d'avoir perdu au bout du compte. Par exemple, la probabilité de perdre douze fois de suite est (5/6)12, soit 0,11. Et en sens inverse, la probabilité d'avoir gagné au moins une fois au cours de ces essais est 0,89 (ce qui représente 9 chances sur 10).

=> la question posée serait de savoir pourquoi, en raison, il faut combiner les probabilités de perdre comme si les lancers, au final (suite à un nombre donné non nul de lancers), n'étaient plus parfaitement indépendants les uns des autres ?

Merci.
-----

[Kairn]

Salut !

Je crois qu'il y a une nuance à prendre en compte.
Au 10000000ème lance, la proba de tomber sur le nombre voulu est toujours 1/n, les lancers précédents n'ont rien changé. Ce qui change, c'est la proba de trouver le numéro voulu parmi ces 10000000 lancers : cette proba augmente. Le calcul effectué montre que la proba du contraire (aucun des 10000000 lancers n'a donné le nombre voulu) tend vers 0 quand le nombre de lancers augmente.

[Dynamix]

Salut

=> la question posée serait de savoir pourquoi, en raison, il faut combiner les probabilités de perdre

Pas "il faut" , mais "on peut"
Et comme c' est la méthode de calcul la plus simple , on ne s' en prive pas .

[muzoter]

Je crois qu'il y a une nuance à prendre en compte.
Au 10000000ème lance, la proba de tomber sur le nombre voulu est toujours 1/n, les lancers précédents n'ont rien changé. Ce qui change, c'est la proba de trouver le numéro voulu parmi ces 10000000 lancers : cette proba augmente. Le calcul effectué montre que la proba du contraire (aucun des 10000000 lancers n'a donné le nombre voulu) tend vers 0 quand le nombre de lancers augmente.

... une sorte de probabilités a posteriori en somme, une fois que les événements se sont produits, non avant qu'ils se produisent d'autant que si j'applique la formule de Magnan aux lancers d'un dé à deux faces aisément nommable "pièce de monnaie", si c'était a priori j'obtiendrais qu'au quatrième lancer la probabilité de ne pas tomber sur pile serait de (1/2)^4=1/16, largement différente de 1/2 et autrement plus petite !

La formule de Magnan semble ne pas trop mal marcher a priori pour des n grands mais si n est petit elle semble ne pas devoir très bien marcher, ensuite Magnan applique sa formule aux singes dactylographes => plus du tout très orthodoxe, son truc

D'autant que les joueurs du loto pourraient se glorifier d'avoir enfin trouvé un truc pas trop mal pour gagner aisément le gros lot : "suffit que je joue beaucoup à chaque fois et sur de nombreuses années pour avoir plus de chances de gagner le gros lot", pourraient-ils se dire : hélas si c'était le cas ça se saurait depuis le temps, je pense

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bjr,
ou est le paradoxe.
il y a une différence entre la probabilité de tirer "pile" au n_ième coup, et celle de n'avoir tirer que des "piles" pendant n coups
quel est le pb, exactement ?

on peut changer "pile" par "chiffre donné", cela est la même chose

[muzoter]

Bien sûr mais "pièce de monnaie" est plus parlant que "dé à deux faces", tout simplement !

Le paradoxe provient qu'ici les maths semblent vouloir dicter à la Nature ce qu'elle doit faire ou ne pas faire : si j'émets l'hypothèse que les événements, a priori, sont absolument indépendants les uns des autres je dois m'y tenir, sans cela je sombre dans le paradoxe, ce que semblent vouloir faire ces probabilités a posteriori quand elles semblent vouloir trouver, après coup, des liens de cause à effet entre des événements, a priori réputés indépendants, qui se sont passés.

[ansset]

Bien sûr mais "pièce de monnaie" est plus parlant que "dé à deux faces", tout simplement !

Le paradoxe provient qu'ici les maths semblent vouloir dicter à la Nature ce qu'elle doit faire ou ne pas faire : si j'émets l'hypothèse que les événements, a priori, sont absolument indépendants les uns des autres je dois m'y tenir, sans cela je sombre dans le paradoxe, ce que semblent vouloir faire ces probabilités a posteriori quand elles semblent vouloir trouver, après coup, des liens de cause à effet entre des événements, a priori réputés indépendants, qui se sont passés.

c-a-d ?
mathématiquement parlant, sans faire de philo ?

[muzoter]

Plus du bon sens que de la philosophie encore que les deux ne sont pas irréconciliables mais hélas la philosophie, parfois, se perd dans des travers insensés.

[ansset]

de quel "bon sens" parle t on ?
c'est juste des maths, et il n'y a pas de paradoxe ou de trucs du genre :

Le paradoxe provient qu'ici les maths semblent vouloir dicter à la Nature ce qu'elle doit faire ou ne pas faire

[gg0]

Muzoter,

n'importe qui sais que s'il a deux essais pour réussir au moins une fois, il a plus de chances de réussir. Ici, les probas sont d'accord avec cette intuition. C'est tout.
Plus généralement, les probas montrent que l'intuition "à force d'essayer, je vais finir par réussir" a une traduction scientifique, lorsque la chance permet de réussir (même si la probabilité de réussir est faible). Évidemment, il faut que le hasard joue, j'aurai beau essayer de courir un 100 m en 9 s, je n'y arriverai pas.

Ensuite, si on ne fait pas attention au sens des morts, si on confond par exemple "probabilité de faire pile au quatrième lancer" et "probabilité de faire pile au moins une fois en quatre lancers", c'est foutu ! Avant de parler de paradoxe, comprendre le sens des mots. Ce n'est pas de la philosophie, c'est du français !!!

Cordialement.

[Dynamix]

Le paradoxe provient qu'ici les maths semblent vouloir dicter à la Nature ce qu'elle doit faire ou ne pas faire

Les maths ne dictent rien à la nature .
Elles essaient de prévoir ce qui peut se passer et donne un "poids" à chaque possibilité .
Et "La Nature" , grande déesse imprévisible , fait ce qu' elle veux .
Chacun son boulot !

ce que semblent vouloir faire ces probabilités a posteriori

Il n' y a pas de probabilité a posteriori .

[muzoter]

une traduction scientifique

Scientifique c'est entendu mais mathématique ?

Les Mathématiques sont essentiellement a priori (non la Physique) et la question s'adresse aux Mathématiques : quelle est la raison mathématique de multiplier les probabilités de ne pas tomber sur un numéro donné, après chaque lancer ? C'est le point de vue mathématique qui est difficile à comprendre.

si on confond par exemple "probabilité de faire pile au quatrième lancer" et "probabilité de faire pile au moins une fois en quatre lancers", c'est foutu !

Je crois que vous avez raison sur ce point : il y a là-dedans des problèmes d'expression, des manières d'expliciter qui ne sont pas toujours très claires !

[ansset]

Il n' y a pas de probabilité a posteriori .

ben non, et c'est là que le "bon sens" fait défaut justement.
si je reprend un tirage à pile ou face.
que j'ai tiré 10 fois pile, mon "pseudo bon sens" me dirait , ben j'ai quand même plus de chance de tirer face la prochaine fois.
ce qui est faux, car les tirages sont indépendants.
au passage rappelons les proba conditionnelles.
P(A|B) ( proba de l'evt A sachant l'evt B )
ici A est tirage "face" au 11 ème coup et B 10 tirages de piles précédents.

les tirages étant indépendants

d'où

et donc tj 1/2
ce qui est la base des tirages indépendants.( ce qui n'a rien à voir avec des considérations "à postériori" )

[Dynamix]

quelle est la raisonmathématique de multiplier les probabilités de ne pas tomber sur un numéro donné, après chaque lancer ?

Pourquoi "après" ?

[NicoTial]

quelle est la raison mathématique de multiplier les probabilités de ne pas tomber sur un numéro donné, après chaque lancer ?

Ne serait-ce pas l'indépendance des évènements .

[gg0]

Pas de raison mathématique !

En fait, pour des dés réels (*), on modélise la situation en considérant que les dés sont parfaits et que les lancers sont indépendants. Si on n'est pas d'accord avec ce modèle (par exemple on pense que le dé est pipé, ou que le dé "rattrape" les tirages qui n'ont pas eu lieu depuis longtemps - le dé a une âme !-) on en prend un autre. C'est parce qu'on a choisi ce modèle qu'ensuite, conformément aux règles des probabilités, on voit apparaître des multiplications.
Quant à l'apparition de la multiplication ici, elle relève au fond de ce qu'on voit à l'école primaire sur la multiplication. Dans le dénombrement des cas, il y a 6 cas pour le premier dé, et pour chacun 6 pour le deuxième. Et dans le dénombrement des cas favorables, 5 pour le premier et à chaque fois 5 pour le deuxième (j'ai repris l'exemple de Magnan). Soit (5x5)/(6x6)= (5/6)x(5/6). On voit qu'on a multiplié les probabilités.
Cette multiplication dans des cas d'indépendance pour des nombres d'événements finis a été généralisée et est utilisée comme définition de l'indépendance. Mais apparaît tout naturellement dans les répétitions indépendantes d'événements, par la définition de la probabilité produit (voir un cours de probabilités).

Cordialement.

(*) il y a les dés théoriques dont on parle dans les exercices de probabilité; dés parfait où la probabilité de sortie de chacune des 6 faces est 1/6.

[ansset]

(*) il y a les dés théoriques dont on parle dans les exercices de probabilité; dés parfait où la probabilité de sortie de chacune des 6 faces est 1/6.

cela me fait penser à un exercice de réflexion que je soumets à Muzoter.
supposons que l'on ait 100 dés théoriquement parfaits ( par principe ).
exercice 1)
on lance à chaque fois un dé différent.
exercice 2)
on lance toujours le même.

est ce que ton "bon sens" analysera de la même manière une suite de N mêmes chiffres sortis dans les deux cas, pour en "déduire" une éventuelle probabilité diff sur le lancer suivant. ????

[muzoter]

Re-bonjour,

Pourquoi "après" ?

Je n'ai peut-être pas bien lu ou compris l'article de Christian Magnan mais ce que j'en ai retenu, appliqué au cas d'une pièce de monnaie, c'est ceci :

- je lance 3 fois la pièce => ça tombe trois fois sur face

- je regarde, a posteriori, ce que les trois lancers précédents ont donné => comme c'est tombé trois fois sur face la formule de Magnan me dit que je dois augurer, pour le quatrième lancer (qui ne s'est pas encore produit) que la chance de tomber encore une fois sur face est très faible, non égale à 1/2 bien qu'auparavant j'ai postulé l'indépendance absolue des lancers

=> donc si j'ai bien lu et compris ce raisonnement appliqué au cas d'une pièce de monnaie conduit à 1/2=1/4=1/8 = ainsi de suite ce qui est évidemment faux : cela montre l'aspect fallacieux du raisonnement.

Or augurer sur ce qu'il va se passer en regardant ce qu'il s'est passé c'est très exactement ce qui s'appelle créer des relations de cause à effets entre des événements avant/après, mais encore dicter à la Nature ce qu'elle doit faire ou ne pas faire.

... dans tous les cas merci de vos éclairages salutaires, sur cette question

[gg0]

la formule de Magnan me dit que je dois augurer, pour le quatrième lancer (qui ne s'est pas encore produit) que la chance de tomber encore une fois sur face est très faible, non égale à 1/2 bien qu'auparavant j'ai postulé l'indépendance absolue des lancers

Où as-tu lu ça ? En tout cas pas dans le passage que tu cites au message #1 qui ne parle pas de la probabilité d'obtenir un résultat au prochain coup (il dit qu'elle vaut encore 1/6 puisque la probabilité de perdre est toujours 5/6). Donc peux-tu citer le passage où il dit ça et nous dire quelle est la formule dont tu parles ?

[Dynamix]

- je regarde, a posteriori, ce que les trois lancers précédents ont donné

Ce n' est pas du tout ce que fait Christian Magnan .
Il n' y a pas de "a posteriori"
Il examine tous les cas possible et leurs probabilités respectives .
Le joueur arrête de jouer quand il obtiens un 6 .
_Il peut gagner au premier coup (p=1/6)
_Dans 5 cas sur 6 il rejoue avec une probabilité de gagner de , toujours , 1/6 . Probabilité de l' événement "perdre au premier et gagner au deuxième" : (5/6)*(1/6)
_....
_ Probabilité de l' événement "perdre N fois et gagner au (N+1)^ième" : (5/6)^N*(1/6)
La probabilité de gagner en N coups maximum c' est la somme des probabilités de gagner en 1 , 2 , 3 ... N coups .

[andretou]

=> la question posée serait de savoir pourquoi, en raison, il faut combiner les probabilités de perdre comme si les lancers, au final (suite à un nombre donné non nul de lancers), n'étaient plus parfaitement indépendants les uns des autres ?

La question ainsi posée est biaisée, car subjective.
Pour compléter la réponse de Dynamix, tu as le choix entre le point de vue du perdant ou celui du gagnant.
Si tu fais le choix de considérer que le fait de ne pas obtenir un certain événement au bout de n lancers est un échec, alors oui, "il faut combiner les probabilités de perdre".
Mais pour ton adversaire ce sera le contraire ! Pour lui la probabilité de succès vaut 1 - (5/6)ⁿ, et cette probabilité augmente logiquement avec n.
On retrouve ainsi le calcul des probabilités auquel nous sommes habitués (c'est-à-dire le point de vue du gagnant).

[muzoter]

Bonjour,

L'« astuce » de raisonnement consiste à considérer la probabilité de l'événement complémentaire, celui de perdre. Ici la « chance de perdre » (si on peut dire!) est évidemment de 5/6 par essai (soit 0,83). La suite du calcul est alors très simple. Perdre une fois est probable (5 chances sur 6). Mais perdre deux fois de suite l'est moins. En effet, à la probabilité de perdre une fois (5/6) se combine la probabilité (inférieure à l'unité) de perdre une autre fois, c'est-à-dire encore 5/6. La probabilité de perdre deux fois de suite est donc
P2=(5/6)^2

… revoilà en substance ce qu’a écrit Magnan dans le texte en question : ne se contredit-il pas lui-même en écrivant cela sachant que juste avant il a pris soin de réaffirmer avec force l’indépendance absolue des lancers les uns par rapport aux autres ?

Perso ce que j’essaye de comprendre de cela c’est que les lancers de dés sont des expériences de Physique qui font intervenir le temps c’est-à-dire le mouvement alors que les Mathématiques raisonnent abstraitement, en dehors de toute expérience concrète, que donc par conséquent transposer des problématiques mathématiques sur des cas physiques, concrets, au final ça semble ne pouvoir que foirer.

Exemple le jeu du loto, cas mathématique sans aucune difficulté de compréhension, qui ne mène à aucune contradiction logique :

- J’ai 45 numéros,
- je joue une ou plusieurs combinaisons possibles de sept numéros => comme il y a N= 45 fois 44 fois 43 fois 42 fois 41 fois 40 fois 39 combinaisons possibles de sept numéros :

• si je joue toutes les combinaisons possibles alors je suis sûr de gagner
• si je ne joue pas du tout alors je suis sûr de perdre
• entre ces deux extrémités il y a toutes les gradations selon que la possibilité de gagner l’emporte + ou – sur celle de perdre exemple si je joue une seule combinaison possible alors j’ai seulement une chance sur N de gagner et si je joue N/2 combinaisons possibles j’ai une chance sur deux de gagner.

=> donc au final la probabilité de gagner est plus élevée si je joue N/2 combinaisons possibles plutôt qu’une seule combinaison possible : cela est très clair, ici le temps donc le mouvement n’interviennent pas.

Le reste, ce qu’écrit Magnan dans le texte qui pécède en semblant vouloir mélanger la Mathématiques et la Physique, ça j’ai vraiment du mal à le comprendre !

[Dynamix]

donc par conséquent transposer des problématiques mathématiques sur des cas physiques, concrets, au final ça semble ne pouvoir que foirer.
!

Et pourtant c' est ce qu' on fait toujours .
As tu une méthode pour traiter un problème de physique sans passer par les maths ?

• si je ne joue pas du tout alors je suis sûr de perdre
!

Ben non .
Si tu ne joues pas , tu ne perds pas .

[gg0]

Ce que tu as écrit en très gros est justement une conséquence évidente de l'indépendance des lancers. C'est évident, si on ne confond pas "perdre au deuxième coup" avec "perdre aux deux premiers coups".

Cordialement.

[muzoter]

Donc si je comprends bien dans le cas d’une pièce de monnaie si je choisis « pile » comme « numéro » gagnant alors si les trois premiers lancers, consécutifs, donnent {face,face,face} alors je n'augure pas du tout sur ce qu’il va se passer au quatrième lancer (dans tous les cas une chance sur deux de donner, pile ou face) mais je parie sur les trois prochains lancers : comme c’est tombé trois fois consécutivement sur "face" lors des trois précédents lancers, « pile » a plus de chances de tomber à quelque moment lors des trois prochains lancers, vu que si j’augmente le nombre de lancers alors j’augmente dans le même temps la probabilité de tomber sur « pile » qui est le « numéro » gagnant, à quelque moment !

Exemple si ça tombe mille fois sur « face » alors suite à cela je n’augure pas du tout sur le mille et unième lancer (probabilité ½) mais sur les mille prochains lancers qui vont suivre => après mille lancers ayant toujours donné « face » ça a encore plus de chances de donner « pile » à quelque moment lors des mille prochains lancers, que dans le cas où il n’y avait que trois lancers ayant donné consécutivement "face"

[Dynamix]

comme c’est tombé trois fois consécutivement sur "face" lors des trois précédents lancers, « pile » a plus de chances de tomber à quelque moment lors des trois prochains lancers

Totalement faux .
Les milles suivants sont indépendants de milles précédents .

[muzoter]

Oui mais le complémentaire de {face,face,face} n'est-il pas {pile,pile,pile} ?

Et dans tous les cas si A= {face,face,face} tombe une fois c'est déjà rare mais s'il tombe plus souvent sur un nombre limité de lancers (exemple sur mille lancers), c'est encore plus rare

Si A est tombé une fois sur trois lancers consécutifs, les trois prochains lancers risquent d'être différents genre {face, pile, face} ou {pile, face, face} ou {face, face,pile} ou {pile,pile,pile} ou {pile,pile,face} ou {pile,face,pile}.

[ansset]

dans le même esprit, on peut se contenter de ne tenir compte que d'un lancer sur deux par exemple.
en quoi le ou les précédents auraient un "poids" , sauf à imaginer que la pièce ait une sorte de "mémoire".?
ceci dit il est clair que faire mille lancers identiques a une probabilité bien plus faible qu'une répartition plus homogène.
( sauf si la pièce est truquée ).

[Dynamix]

Oui mais le complémentaire de {face,face,face} n'est-il pas {pile,pile,pile} ?

Le "complémentaire" ?
Connais pas .
Tu inventes un langage pour justifier tes idées fausses .

Si A est tombé une fois sur trois lancers consécutifs, les trois prochains lancers risquent d'être différents genre

Il peuvent être différents ou identiques .
Les 3 ou 1000 ou 1 milliards de lancer précédents n' ont aucune influence (sauf si la pièce est truquée)

Note bien que la probabilité d' avoir N piles quand quand tu joues 2N fois (égalité pile/face) diminue quand N augmente .
(elle tend vers (pi.N)^-1/2)
Donc si à un moment tu as un surplus de face , il n' y aucune raison pour qu' il s' amenuise par la suite .
C' est une chose qui est souvent mal comprise à cause de la loi des grands nombres .

[NicoTial]

vu que si j’augmente le nombre de lancers alors j’augmente dans le même temps la probabilité de tomber sur « pile »

C'est là que l'on voit que tu te perds encore dans les définitions de tes évènements !!!
SI tu fais n lancés (indépendant) et que tu considères l'évènement "avoir au moins un pile après n lancés". Notons la probabilité de cet évènement Pn.
SI l'on augmente n, Pn va bien sûr augmenter.
Mais toi ce n'est pas ce que tu regardes, tu dit : faisons trois lancé, je constate trois faces, donc un pile a plus de chance de tomber... NON ! SI je reprends un vocabulaire plus strict, tu considère l'évènements "avoir un pile sachant que j'ai eu trois faces"... Par indépendance des lancés, ta probabilité vaut toujours 1/2...ceci même si tu augmentes le nombre de lancé à 1000 : l'évènements "avoir un pile sachant que j'ai eu 1000 faces" a toujours une probabilité de 1/2...