Espace vect / Matrice, Rang...

[poliolepoulet]

Bonjour,

J'ai un DM sur les grandes vacances, et un grand exo portant sur les bases des espaces vectoriels (j'entends par là les choses basiques à savoir, pas la base d'un e.v) et j'ai beaucoup de mal, ce qui m'inquiète pour la passage en deuxième année...

Voilà l'exo :
On pose v1 = (1,−2,3,4) , v2 = (−1,0,5,2), v3 = (1,−4,11,10), v4 = (2,2,1,−2), v5 = (2,0,9,4).
Déterminer le rang de F = (v1,v2,v3,v4,v5). Quelle est la dimension de F = Vect(F)? En donner une base B formée
d’éléments de F, et déterminer l’expression dans cette base des vecteurs de F \B.

Pour calculer le rang, j'ai fait ma matrice échelonnée,

et je compte le nombre de ligne où il n'y a pas que des 0 en l'occurence il y en à 3, donc le rang est de 3, jusque là ça va..
Ensuite on me demande la dimension de F = Vect(F), j'ai une famille libre ( de trois vecteurs vu que la dimension est 3) car un 0 dans chaque vecteur (ne sont pas colinéaires) donc c'est égal au rang donc la dim de F est 3
Mais après je bloque on me demande une base B formée des éléments de F et là je vois pas du tout..
Puis déterminer l’expression dans cette base des vecteurs de F \B la je vois pas du tout.

Merci d'avance pour vos réponses !
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[NicoTial]

Bonjour,

Alors avant tout, quelques problèmes dans ton message :
Tu as écris, "on me demande le dimension de F=Vect(F)... F est une famille de 4 vecteurs et Vect(F) est l'espace engendré par ces vecteurs, on ne peux pas écrire F =Vect(F)...où alors cela signifie que les seuls éléments de Vect(F) sont les vecteurs de F... pas possible ici. Donc en réalité tu cherches la dimension de G=Vect(F).

Bon passons à tes question :
Tu souhaites une base B des éléments de G... tu as que G=Vect(de trois vecteurs libres) or ta dimension est de 3... donc tes 3 vecteurs libres sont une des bases de G.
Précisons les notations : qu'est ce que les vecteurs de F\B ?

[poliolepoulet]

Oui en effet dans l'exercice ce n'est pas F=vect(F) mais = vect(F), c'est un F un peu different..
Mais appelons le G c'est très bien.

Ok donc je prends trois vecteurs colonne de ma matrice qui forment une famille libre.. Assez simple j'en prends trois avec un 0 dedans, ils ne sont donc pas colinéaires..

Donc les vecteurs F\B sont ceux qui me restent dans la matrice autre que ceux qui forment ma base, il m'en reste donc deux..
Est ce que cela signifie que je dois exprimer ces deux vecteurs en fonction des trois autres qui forment ma base.
Par exemple si je prend pour base B les trois vecteurs B =vect((1,0,0,0),(1,1,0,0),(2,-2,1,0))
Alors j'ai pour les vecteurs qui me restent :
(-1,1,0,0) = 1* (1,0,0,0) -2*(1,1,0,0) +0* (2,-2,1,0)
(2,-3,1,0) = -1* (1,0,0,0) 1*(1,1,0,0) +1* (2,-2,1,0)
Est-ce que ça doit ressembler à ça..?

Par la suit on me demande de donner une matrice Q, produit de matrices élémentaires telle que :


Et on me dit en indication : Traduire chaque étape de l'échelonnement de par lignes de A par un multiplication à gauche de A par une matrice élémentaire... J'avoue être paumé, je dois reprendre l'échelonnement de la premiere matrice pour arriver à A ou je dois en faire un autre trouver QA..? Merci beaucoup


Note :
La premiere matrice était :

que j'ai échelonné en