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Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

  1. floflo57430

    Date d'inscription
    août 2016
    Messages
    5

    Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    Bonjour tout le monde

    Alors voilà je pense que cette question relève plus d'une question de recherche de limite du taux d'accroissement.

    J'aimerais montrer proprement que la fonction est dérivable sur R+* , c'est-à-dire sans utiliser le fait que le produit de deux fonctions dérivables est dérivable et donc en utilisant le taux d'accroissement.

    J'ai le début en passant à l'exponentielle :

    et après avec le taux d'accroissement j'arrive à d'où une FI que je ne sais pas lever...

    J'ai bien pensé aux DLs en me ramenant en 0 en posant h=x-a ,mais pas moyen d'arriver à lever cette FI...

    Merci d'avance pour vos indications,
    Florian

    -----

     


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  2. floflo57430

    Date d'inscription
    août 2016
    Messages
    5

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    Autant pour moi,
    après avec le taux d'accroissement j'arrive à d'où une FI que je ne sais pas lever...
     

  3. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 260

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    bjr,
    tu as déjà "simplifié" un truc dans ta dernière équation. ( a et x )
    il est possible ( sans avoir fait le boulot ) de remplacer x par a+h et voir ce que cela donne.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  4. eudea-panjclinne

    Date d'inscription
    novembre 2012
    Messages
    427

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    il est possible ( sans avoir fait le boulot ) de remplacer x par a+h et voir ce que cela donne.
    puis un DL à l'ordre 1 en 0 permet de conclure pour le limite.
     

  5. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
    Localisation
    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
    Messages
    13 097

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    N'est-ce pas gênant d'utiliser un DL à l'ordre 1 pour montrer proprement une dérivabilité?
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     


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  6. eudea-panjclinne

    Date d'inscription
    novembre 2012
    Messages
    427

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    Dans la construction rigoureuse d'un cours où l'on conçoit de n'utiliser que ce qu'on a démontré avant, oui. Dans ce cas, le problème est de savoir si on peut définir l'exponentielle et le logarithme sans recours à la dérivation ?
    Pour un exercice d'école, tout dépend de la consigne ou de ce qu'on appelle "démontrer proprement".
    Avec cette restriction, je ne vois pas comment faire ici.
     

  7. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 827

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    Bonjour,

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    N'est-ce pas gênant d'utiliser un DL à l'ordre 1 pour montrer proprement une dérivabilité?
    Non, ce n'est pas gênant d'utiliser un DL d'une fonction pour montrer la dérivabilité d'une autre (composée en partie de la première)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  8. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 260

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Non, ce n'est pas gênant d'utiliser un DL d'une fonction pour montrer la dérivabilité d'une autre (composée en partie de la première)
    j'appuie, d'autant que c'est implicite ici puisque l'on cherche la dérivabilité en première intention.
    ici le DL est en h , avant de voir ce qu'il se passe quand a->0....
    ( ne pas mélanger les deux )

    ps : par contre, suis pas sur qu'un DL à l'ordre 1 suffise tj .
    Dernière modification par ansset ; 24/08/2017 à 21h06.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  9. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
    Localisation
    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
    Messages
    13 097

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Non, ce n'est pas gênant d'utiliser un DL d'une fonction pour montrer la dérivabilité d'une autre (composée en partie de la première)
    Bonsoir,
    Je posais la question dans le sens compris par Eudea et parce que Flo ne voulait pas utiliser de théorème de dérivabilité sur la composition ou produit de fonction.
    Du coup, les DLs font un peu marteau pilon. Non?
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  10. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 827

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    Bonsoir,

    j'ai utilisé, et c'était maladroit, le mot "composé" dans son sens français et non mathématiques, ce que je voulais dire, c'est que pour montrer la dérivabilité de la fonction originelle en partant de la définition, on se retrouve avec une imite à calculer et qu'il n'y a aucune raison de ne pas utiliser les théorèmes classiques sur les limites, y compris les DL des fonctions connues
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  11. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 151

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    D'après la règle si on pose alors



    or d'après les données ?
     

  12. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 197

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    Sinon, il suffit de reprendre la démonstration de la dérivée d'une fonction composée et du produit de fonctions:




    Pour la limite de A quand y tend vers x, comme tend vers , c'est la dérivée de la fonction exponentielle au point , soit

    Pour la limite de B, on va réutiliser la démonstration de la limite d'un produit de fonctions :



    D'où le résultat.


    Après, autant utiliser directement les théorèmes plutot que de les redémontrer dans un cas particulier
    Dernière modification par Tryss2 ; 27/08/2017 à 21h02.
     

  13. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 260

    Re : Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

    c'est bien vu !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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